^^Implicazione logica.

     "freccia tratto doppio"     (forma)
  "freccia di implicazione logica"   (significato)

ALeggesi:

Linguaggio logico Linguaggio causa-effetto
  1. A implica B
  2. se A Ŕ vero, allora B e' vero.
  3. A, allora B
  4. A, di conseguenza, B
  5. A, segue B
  6. da A consegue B
  7. B e' conseguenza di A
  8. da A si deduce B
  1. A provoca B
  2. A produce B
  3. A causa B

 

(AB)⇔(B⇒A) 

A⇐B e B⇒A  sono proposizioni equivalenti.

Relazioni fondamentali

  1. [A⇔B] ⇔ [(A⇒B)∧(A⇐B)]  equi
    [A⇔B] ⇔ [(A⇒B)∧(B⇒A)]
  2. (A⇒B)∧(B⇒C) ⇒ (A⇒C)

Pre(requisito)

Per parlare di implicazione logica, occorre dire cosa sia la logica, e piu' precisamente la Logica matematica.

Links inet

gowers/basic-logic-connectives-implies

Links

  1. Freccia ⇒. Ad ogni significato la sua freccia. Ad ogni freccia il suo significato.
  2. Equivalenza logica.
  3. Dimostrazioni; 3 tipi. Serie di implicazioni, contrapositivo, assurdo.

Implicazione logica rappresentata nel calcolo delle proposizioni

L'implicazione logica viene vista come

≡ connettivo logico

≡ funzione logica in 2 variabili

≡ tabella di veritÓ

La proposizione "A⇒B" e' V/F quando ...

tradotto in tb

A B A⇒B
0 0 ?
0 1 ?
1 0 0
1 1 1
   ci sono casi chiari e oscuri,

quelli in cui la premessa e' falsa, non so come giudicarli.

"A⇒B"  e' una proposizione che significa

L'idea che ho avuto per uscire dall'imbarazzo

consideriamo una relazione in cui il connettivo partecipa, e vediamo se questo pone vincoli sui valori di ⇒; consideriamo le 2 relaz fondamentali.

[A⇔B] ⇔ [(A⇒B)∧(B⇒A)]

Espressioni calcolate da A B

A B A⇔B

≡ T1

A⇒B B⇒A (A⇒B)∧(B⇒A)

≡ T2

T1⇔T2
0 0 1 ? ? ? ?
0 1 0 ? 0 0 1
1 0 0 0 ? 0 1
1 1 1 1 1 1 1

l'espressione ⇔ deve essere vera in ogni caso, cioe' per ogni combinazione di valori dei termini elementari dell'espressione, qui A e B.

riga 2 e 3 : T1 e' calcolabile, poiche'  (?)AND(0) = 0, poiche' se almeno uno degli operandi e' 0, sicuramente il risultato di AND e' 0.

riga 1: deve essere (T1⇔T2)=1, siccome T1=1 deve esserlo anche T2=1;

T2 e' un AND: (A⇒B)∧(B⇒A) = 1  cioe' xANDy=1, implica entrambi gli operandi =1; cio' risolve l'incertezza nel caso 0 0: (0⇒0)=1.

Rimane una sola incertezza.

A B A⇒B
0 0 1
0 1 ?
1 0 0
1 1 1

(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒ (A⇒C)

Espressioni calcolate da A B C

  A B C A⇒B B⇒C (A⇒B)∧(B⇒C)

≡ T1

A⇒C

≡ T2

T1⇒T2
1 0 0 0 1 1 1 1 1
2 0 0 1 1 ? ? ? ?
3 0 1 0 ? 0 0 1 ?
4 0 1 1 ? 1 ? ? ?
5 1 0 0 0 1 0 0 1
6 1 0 1 0 ? 0 1 ?
7 1 1 0 1 0 0 0 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1

riga 3,6: per T1 e T2 si e' prodotto il caso  0 1  che e' attualmente indeterminato (0⇒1)=?, ma siccome deve risultare 1, cio' lo determina.

Conclu

A B A⇒B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
   l'implicazione e'
  • falsa solo se da una proposizione vera si deduce una falsa
  • vera in tutti gli altri casi

 

  A B C A⇒B B⇒C (A⇒B)∧(B⇒C)

≡ T1

A⇒C

≡ T2

T1⇒T2
1 0 0 0 1 1 1 1 1
2 0 0 1 1 1 1 1 1
3 0 1 0 1 0 0 1 1
4 0 1 1 1 1 1 1 1
5 1 0 0 0 1 0 0 1
6 1 0 1 0 1 0 1 1
7 1 1 0 1 0 0 0 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1

 

dim:

A B A⇒B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
   se si suppone questa tb, il calcolo mostra che esistono casi in cui l'affermazione e' falsa 

 

  A B C A⇒B B⇒C (A⇒B)∧(B⇒C)

≡ T1

A⇒C

≡ T2

T1⇒T2

 

1 0 0 0 1 1 1 1 1
2 0 0 1 1 0 0 0 1
3 0 1 0 0 1 0 1 0
4 0 1 1 0 0 0 0 1
5 1 0 0 0 0 0 1 0
6 1 0 1 0 1 0 1 0
7 1 1 0 1 0 0 1 0
8 1 1 1 1 1 1 1 1