^^Proprieta' elementari delle relazioni: transitiva, simmetrica, riflessiva.

Le piu' note-importanti sono:

proprieta' transitiva, simmetrica, riflessiva, antisimmetrica.

Solitamente i matematici le presentano in un altro ordine:

riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica.

 

∀ a,b,c ∈X Proprieta'

transitiva

aRb e bRc  ⇒ aRc
a≤b e b≤c  ⇒ a≤c

simmetrica

aRb ⇒ bRa
a=b ⇒ b=a

riflessiva

aRa
a=a
 

 

confronto col riferimento

aRb e cRb  ⇒ aRc
 
insieme alla riflessiva equivale a
transitiva simmetrica e riflessiva
 
Teo: aRb ⇒ bRa 
dim:
se vale la riflessiva, allora bRb
bRb e aRb ⇒ bRa

transtiva simmetrica riflessiva assieme fanno la Relazione di equivalenza.

antisimmetrica

aRb e bRa  ⇒ a=b
a≤b e b≤a  ⇒ a=b
 

Proprieta' asimmetrica

aRb ⇒ b-Ra
a<b ⇒ b-<a

 

Il fatto fondamentale e' se una relazione gode o no la proprieta' transitiva.

In tal caso posso

e la relazione rimane transitiva.

A questo punto:

Questo appena detto e' quasi formale, in pratica: una fila di gruppi di uguale lunghezza.

 

Relazioni transitive

Equivalenza e ordine sono entrambe transitive.

- le relaz transitive SIMMETRICHE     : sono CLASSI
-                     ANTISIMMETRICHE :      ORDINI

Un'ampia e importante classe di organizzazioni sono quelle con relazione transitiva.

 

 

 

 

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Proprieta' transitiva

po a,b ap X  se aRb  e  bRc  => aRc
                 ≤       ≤       ≤

Proprieta' simmetrica

po a,b ap X   se aRb => bRa
                  =      =

Proprieta' riflessiva

po a ap X        aRb
                  =

 

Proprieta' asimmetrica

po a,b ap X   se aRb => b-Ra
                  <      -<

 

Proprieta' transitiva

∀ a,b ∈X  se aRb  e  bRc  ⇒ aRc
              a≤b      b≤c    a≤c

Proprieta' simmetrica

∀ a,b ∈X   se aRb ⇒ bRa
               a=b    b=a

Proprieta' riflessiva

∀ a ∈X        aRa
               a=a

Proprieta' asimmetrica

∀ a,b ∈X   se aRb ⇒ b-Ra
               a<b    b-<a