^^Geometria d'incidenza.

wp/Incidence_geometry

Assiomi della Geometria d'incidenza di punti e rette

1. 2 distinct points are incident with exactly 1 line.
2. every line is incident to at least two distinct points.

ridetto:

1. per 2 punti passa 1 e 1 sola retta
   2punti ↔ 1retta
2. ogni linea e' fatta da almeno 2 punti

Oss: possono esistere rette non incidemti.

Ogni punto e' connesso con tutti gli altri.

Teo: le linee si intersecano al massimo in 1 punto.

dim: se si interseno in 2, allora devono essere la stessa, come dice assioma 1.
2 rette sono uguali, alter

• 2 punti di una uguali a 2 punti dell'altra
• passano per gli stessi 2 punti

Secondo questa definizione esistono infiniti spazi geometrici d'incidenza

il numero di rette determinate da n punti

• per assioma una coppia non ordinata di punti determina una retta
• le coppie non ordnale di punti di n punti sono  n(n-1)/2

quindi le rette sono n(n-1)/2.

Assomiglia a un Grafo completo.

Incidence structure. Struttura di incidenza.

Matrice adiacenze, matrice incidenze.

La geometria di incidenza della geometria euclidea

e' cio' che si ottiene considerando solo le regole di incidenza tra punti e rette e dimenticando il resto.

Indagare:

il numero di rette determinate da n punti in un piano euclideo.

• per assioma una coppia non ordinata di punti determina una retta
• le coppie non ordnale di punti di n punti sono  n(n-1)/2

viene da dire che quindi le rette sono n(n-1)/2, ma ...

alcune rette generate in questo modo potrebbero coincidere poiche'

possono esistere punti allineati: 3 o piu' punti incidenti sulla stessa retta.

Lo spazio fatto da 3 punti esiste in 2 versioni:

• 1 retta fatta da 3 punti  =  3 punti allineati
• "triangolo" 3 rette  =  3 punti non allineati  = 3 coppie di punti non allineate

Lo spazio fatto da 4 punti, max 4*3/2=6 rette; esiste in 2 versioni:

1. 4 punti allineati
   1 retta fatta da 4 punti
2. 3 punti allineati, 1 esterno
   retta fatta da 3 punti + 3 rette dai tali punti al punto esterno; in totale 4 rette
3. 4 punti senza

4 punti non allineati nel piano eucledeo
Visti come quadrilatero

1. "parallelogramma": 2 coppie rette non sincidono
   4 rette di bordo + 2 diagonali = tot 6 rette.
   Ma le diagonali sincidono, quindi i punti sono 5
2. "trapezio": 1 coppia di rette non sincide, l'altra si, qundi il punti intrsezione crea un punto in piu' che deve essere unito a tutti gli altri; l'unione all'intersezione delle diagonali crea nuovi punti intersezone coi lati paralleli del trapezio, che a loro volta devono essere uniti agli altri ... e non si finisce piu' ... ?

Finite sets of points and determined lines in the Euclidean plane

A special case that has generated much interest.

Some results of this situation can extend to more general settings since only incidence properties are considered.

Sylvester-Gallai_theorem

De Bruijn–Erdős theorem

Esempi geometrici fondamentali 

Fundamental geometric examples wp