^^Geometria affine.

Geo proiettiva | affine | affine algebrica | affine sintetica

per introdurre la geometria affine, dipende dalla preparazione dell'ascoltatore, supponiamo in geometria euclideaco, me usuale in Italia2025, e allora introduciamo

proprietà affine nello spazio euclideo 3D

property preserved by parallel projection from one plane to another.

es: essere punto medio di un segmento; essere trilato.

es: proprieta' non affini: ortogonalita'; trilato isoscele.

Cio' permette di riconoscere le varie proprieta', e poi di stabilire una gerarchia, nel senso che da alcune si possono derivare le altre; il nucleo da cui derivano tutte le altre puo' essere assunto per una definizione assiomatica di geometria proiettiva.

affine geometry vista come parte della geo euclidea

si occupa solo della parte esprimibile con le proprieta' affini.

The affine theorems in Euclid are those which remain invariant under parallel projection from one plane to another.

affine geometry vista come geo con proprie regole

valgono solo i postulati 1 2 di Euclide, il 5 nella forma della parallela rem

1.	To draw a straight line from any point to any point.
2.	To extend a straight line as far as we please in a straight line.
5.	esiste al max 1 parallela passante per un punto esterno ad una retta.

non valgono i postulati 3 e 4

3.	To draw a circle whose center is the extremity of any straight line, and whose radius is the straight line itself.
4.	All right angles are equal to one another.

Trasformazione affine

le trasformazioni affini preservano parallelismo e verso:
trasformano rette parallele in rette parallele
segmenti uguali equidiretti restano tali.

Nel linguaggio degli spazi vettoriali:

una trasformazione lineare (biiettiva) composta con una traslazione ta(x) = tl(x)+a.

Dirlo

rette parallele restano parallele
le rette parallele si trasformano in rette parallele

Verso delle rette

D: le rette della geo affine hanno un verso?

R: credo di si.

Conseguenze, differenze con la geometria euclidea

segmenti e angoli di una figura prima e dopo la trasformazione

le rette restano rette
segmenti uguali sulla stessa retta restano uguali
segmenti uguali restano uguali se sono su rette paralle, ma
segmenti uguali con direzioni diverse possono diventare disuguali.

Per cui:
1. Lengths can be compared in the same direction
2. Lengths cannot be compared in different directions.
segmenti di ugual direzione restano tali, ma
l'angolo tra segmenti inclinati puo' cambiare
- ortogonalita' non e' una proprieta' affine
i punti di incidenza sono mantenuti
- 2 segmenti si intersecano, cosi' i trasformati
- 3 segmenti si intersecano nello stesso punto, cosi' i trasformati
Oss: assunto che 2 si intersecano, si puo' dimostrare che 3 si intersecano, per "transitività".
Parallelismo e incidenza-concorrenza sono uno l'opposto dell'altro, quindi si puo' dire che le trasformazioni affini preservano parallelismo e concorrenza delle rette.

Teo: "punto medio di un segmento", esserlo

e' proprieta' affine
non e' proprieta' proiettiva

Teo: la proiezione parallela di un trilato su un piano,
puo' generare un trilato di forma qualsiasi.

un trilato puo' essere trasformato in ogni altro trilato

dim: e' quello che accade proiettando con parallele un trilato su un piano per darne la forma; poi

In Affine Geometry, all triangles are the same in the sense that between any two triangles there exists an affine transformation that maps vertices of one triangle sequentially on the vertices of another.

It follows that

if three medians intersect at one point in any one triangle, the same is true for all other triangles.
put another way: affine transformations map the barycenters of a triangle to the barycenter of the image triangle, or barycenters are preserved under affine transformations.

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