^^Geometria affine.

Nello spazio euclideo 3D

proprietà affine

property preserved by parallel projection from one plane to another.

es: essere punto medio di un segmento; essere trilato.

es: proprieta' non affini: ortogonalita'; trilato isoscele.

Cio' permette di riconoscere le varie proprieta', e poi di stabilire una gerarchia, nel senso che da alcune si possono derivare le altre; il nucleo da cui derivano tutte le altre puo' essere assunto per una definizione assiomatica di geometria proiettiva.

affine geometry  vista come parte della geo euclidea

si occupa solo della parte esprimibile con le proprieta' affini.

The affine theorems in Euclid are those which remain invariant under parallel projection from one plane to another.

affine geometry  vista come geo con proprie regole

valgono solo i postulati 1 2 di Euclide, il 5 nella forma della parallela

non valgono i postulati 3 e 4

Trasformazione affine

1. rette parallele restano parallele
2. segmenti uguali equidiretti restano tali.

Nel linguaggio degli spazi vettoriali:

• una trasformazione lineare (biiettiva) composta con una traslazione  ta(x) = tl(x)+a.

Conseguenze, differenze con la geometria euclidea

segmenti e angoli di una figura prima e dopo la trasformazione

1. le rette restano rette
2. segmenti uguali sulla stessa retta restano uguali
3. segmenti uguali restano uguali se sono su rette paralle, ma

   segmenti uguali con direzioni diverse possono diventare disuguali.

   Per cui:

   1. Lengths can be compared in the same direction
   2. Lengths cannot be compared in different directions.
4. segmenti di ugual direzione restano tali, ma
   l'angolo tra segmenti inclinati puo' cambiare
   • ortogonalita' non e' una proprieta' affine
5. i punti di incidenza sono mantenuti
   • 2 segmenti si intersecano, cosi' i trasformati
   • 3 segmenti si intersecano nello stesso punto, cosi' i trasformati

   Oss: assunto che 2 si intersecano, si puo' dimostrare che 3 si intersecano, per "transitività".

6. Parallelismo e incidenza-concorrenza sono uno l'opposto dell'altro, quindi si puo' dire che le trasformazioni affini preservano parallelismo e concorrenza delle rette.

Parmi les résultats remarquables de la géométrie affine, on peut citer :

1. théorème de Thalès
2. associativité du barycentre
3. théorème de Ménélaüs
4. théorème de Ceva

ref: wp/Géométrie_affine

Teo: "punto medio di un segmento", esserlo

• e' proprieta' affine
• non e' proprieta' proiettiva

Teo:  la proiezione parallela di un trilato su un piano,
         puo' generare un trilato di forma qualsiasi.

un trilato puo' essere trasformato in ogni altro trilato

dim: e' quello che accade proiettando con parallele un trilato su un piano per darne la forma; poi

In Affine Geometry, all triangles are the same in the sense that between any two triangles there exists an affine transformation that maps vertices of one triangle sequentially on the vertices of another.

It follows that

• if three medians intersect at one point in any one triangle, the same is true for all other triangles.
• put another way: affine transformations map the barycenters of a triangle to the barycenter of the image triangle, or barycenters are preserved under affine transformations.

Links

1. Le mediane si incrociano tutte in 1 unico punto.
2. Reticolo delle mediane.

3. inet

4. http://serge.mehl.free.fr/anx/appl_aff.html
5. http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaAffine/hompg/hompg.html
6. wp/Géométrie_affine | Espaces affines
7. wp/Affine_geometry | Affine spaces

Approfond

lg: "segmenti paralleli" e' un modo di dire equivoco ?

posso dire: segmenti di ugual direzione; forse e' anche accettabile: segmenti equidirezionati, segmenti equidiretti.

Dirlo

1. rette parallele restano parallele
2. le rette parallele si trasformano in rette parallele
3. Affine transformations preserve parallelism

1. segmenti uguali equidiretti restano tali
2. segmenti uguali su rette parallele, restano uguali.

Altre def di geo affine

1. is what remains of Euclidean geometry when not using (mathematicians often say "when forgetting") the metric notions of distance and angle. wp/Affine_geometry
2. est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de longueur et d'angle lui sont toutefois étrangères : elles dépendent de structures supplémentaires, traitées dans le cadre de la géométrie euclidienne.

   Dissocier les notions propres à la géométrie affine est récent dans l'histoire des mathématiques.

3. Generalization - axioms

   • 1 Parallel line max
   • Angle notion undefined
   • Lengths cannot be compared in different directions (that is, Euclid's third and fourth postulates are ignored).

4. Affine transformations

   Linear transformations and translations (non-singular).

5. Affine Geometry

   1. Points represented as displacements from a fixed origin
   2. Line through 2 points given by set
      AB = a + λ(b-a)
   3. Affine transformation
      t(x) =U(x) + a
   4. U is an invertible linear transformation
   5. As it stands, an affine transformation is not linear

   ref: http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/pages/Geometry.pdf

Rappelons ici que l'on peut construire les vecteurs du plan ou de l'espace

La définition formelle actuelle d'un espace affine

présuppose la donnée d'un espace vectoriel, appelé l'espace directeur. Deux points d'un espace affine peuvent se soustraire pour donner un vecteur de l'espace directeur. wp/Géométrie_affine

Esempi principe di spazio affine

• Spazio Euclideo 2D3D con l'aggiunta dei vettori costruiti à partir du concept de bipoints équipollents défini par Bellavitis.
• uno spazio vettoriale ha una naturale struttura di spazio affine su se stesso:

  un elemento dello spazio e' inteso duplicemente

  • punto dello spazio affine
  • vettore dello spazio vettoriale associato allo spazio affine

  a una coppia ordinata (A,B) di punti dello spazio affine e' associato il vettore dato dalla differenza tra il punto finale e il punto iniziale intesi come vettori; B-A

  ref: http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaAffine/sez2/pagin3/pag3.htm

Axioms

affine_axiom_desargues.ggb

Nelle mie parole: la simmetria centrale mantiene il parallelismo.

Forse e' una proprieta' equivalente a una che a me piace: "il giro si chiude" cioe' la ragnatela si forma. Studio: affine_prova.ggb. Conclu: no. ref: Esagono lati paralleli.

Affine geometry was first recognized by Leonhard Euler in the eighteenth century.

why-are-affine-functions-called-affine-functions

credits: mathoverflow.net/why-are-affine-functions-called-affine-functions

Links