^^Euclide. Postulati.

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I 5 postulati della geometria euclidea

1.  Ogni coppia di punti e' connessa da un segmento.
2. Ogni segmento è prolungabile in linea retta.
3. Ogni estremo di segmento e' centro di un cerchio avente ii segmento come raggio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5. 2 segmenti tagliati da una trasversale:

somma angoli interni dello stesso lato, minore di 2 angoli retti 

⇒ i segmenti prolungati da quel lato si incontrano.

Nota: Unicita'

Sebbene i postulati di Euclide affermano esplicitamente solo l'esistenza delle costruzioni, si sottende che le costruzioni sono uniche.

E' quindi possibile disegnare

1.  disegnare una linea retta tra 2 punti qualsiasi
2. prolungare un segmento quanto si vuole in linea retta
3. disegnare un cerchio di dato centro e raggio

 

Il segmento che unisce 2 punti e' unico

se 2 segmenti che uniscono 2 punti non coincidono, allora 2 linee rette racchiuderebbero uno spazio, il che e' impossibile per definizione4.  (un passo in prop4_book1)

Aristotle

"other things being equal, that proof is the better which proceeds from the fewer postulates or hypotheses or propositions."

cit- Hardy 124

Links

Euclide.

wp/Euclidean_geometry#Axioms

 

Commento

Interpreting Euclid's axioms in the spirit of a more modern approach

  1. axioms 1-4 are consistent with either infinite or finite space (as in elliptic geometry)
  2. all 5 axioms are consistent with a variety of topologies (e.g., a plane, a cylinder, or a torus for two-dimensional Euclidean geometry). ref: wp
    esRob: un poliedro ha le facce piatte, su ognuna di esse vale la geometria euclidea ristretta ad uno spazio limitato: i segmenti sono prolungabili fino al limite della faccia, non esistono rette di lunghezza infinita.

 

Chiedo gogleAI per capire 2

Prompt: quali sono le figure tridimensionali con curvatura di Gauss nulla?

Le superfici in R3 con curvatura di Gauss = 0 in ogni punto, hanno la proprietà fondamentale di poter essere "spianate" su un piano senza subire deformazioni (stiramenti o strappi), poiché sono localmente isometriche al piano euclideo; dette superfici sviluppabili.

Es: cilindro, cilindroide, cono, conoide.

prompt: superfici sviluppabili e superfici rigate sono sinonimi?

No, non sono sinonimi.
Sebbene siano strettamente correlate, esiste una distinzione gerarchica fondamentale:

Ecco le differenze principali:

 

Superfici Rigate: Sono generate dal movimento di una retta (detta generatrice) lungo una curva. In ogni punto della superficie passa almeno una retta.
Esempi: iperboloide a una falda; paraboloide iperbolico (la forma delle patatine Pringles).
 

Superfici Sviluppabili: Sono superfici rigate speciali in cui il piano tangente alla superficie è costante lungo ogni generatrice. Questa condizione implica che la Curvatura di Gauss sia ovunque nulla. Solo queste possono essere "srotolate" su un piano senza distorsioni.

 

Il test della curvatura


Per capire se una superficie rigata è anche sviluppabile, si guarda come cambiano i piani tangenti:

  1. Sviluppabile (Curvatura = 0): Se cammini lungo una generatrice (la retta), il piano tangente alla superficie non cambia inclinazione. Esempi: cilindro, cono.
  2. Rigata non sviluppabile (Curvatura < 0): Se cammini lungo la retta, il piano tangente "ruota" o "si avvita" su se stesso. Esempi: elicoide, iperboloide.

Cosa potrebbe significare "all 5 euclidean axioms are consistent with a variety of topologies" ?

Questa frase significa che gli assiomi classici di Euclide descrivono le proprietà locali e le relazioni geometriche, ma non vincolano la forma globale (la topologia) dello spazio in cui operano. 

In parole semplici: puoi avere uno spazio che "obbedisce" a tutte le regole di Euclide in ogni suo punto, ma che visto "da lontano" ha forme molto diverse. 

I punti chiave del concetto: 

  1. Geometria vs Topologia: Gli assiomi di Euclide (come "per due punti passa una sola retta" o il postulato delle parallele) definiscono una geometria piatta. Tuttavia, diverse forme topologiche possono supportare questa piattezza.
  2. Esempi di modelli:
    1. Il Piano : Il modello standard, infinito in tutte le direzioni.
    2. Il Cilindro: Se prendi una striscia di piano e la incolli, ottieni un cilindro. Localmente è ancora piatto (euclideo), ma topologicamente è diverso dal piano perché è "chiuso" in una direzione.
    3. Il Toro Piatto: Se incolli anche i bordi rimanenti del cilindro (immagina un foglio di carta i cui lati opposti combaciano), ottieni un toro. Se questo processo non "stira" il foglio, la geometria resta euclidea ovunque, anche se la forma globale è una "ciambella".
  3. Coerenza (Consistency): Dire che sono "consistent with a variety of topologies" significa che l'aggiunta di informazioni sulla struttura globale (es. "lo spazio è limitato e senza bordi") non crea contraddizioni logiche con i 5 assiomi, purché la metrica rimanga piatta. 

In sintesi, gli assiomi di Euclide ti dicono come si comporta il "tessuto" dello spazio, ma non ti dicono se quel tessuto è un foglio infinito, un tubo o una ciambella. 

Rob commento

Domande

  1. chi dice che l'intersezione di 2 rette e' 1 punto ?
    R1: forse "def4 straight line is a line which lies evenly with the points on itself" si puo' interpretare: la retta che passa per 2 punti di una retta coincide con essa.

 

postulato2. To extend a straight line for as far as we please in a straight line

and therefore we say that a straight line is potentially infinite. To be potentially infinite is in marked contrast to being actually infinite—which would mean that the straight line has no endpoints at all.

"Linea retta" e' intesa corta-finita, lo si induce dal postulato 2 che garantisce di poterla tracciare infinita; anche se prendendolo alla lettera e' "allungare finche' si vuole".

"Linea retta" oggi detto "segmento".

postulato4

implicitamente: esiste l'angolo-grandezza

 

 

Approfond

Inglese-italiano

Unicita'

Although Euclid's statement of the postulates only explicitly asserts the existence of the constructions, they are also taken to be unique.

1 To draw a straight line from any point to any point. Ogni coppia di punti e' connessa da un segmento.
2 To extend a straight line as far as we please in a straight line Ogni segmento è prolungabile a retta.
3 To draw a circle whose center is the extremity of any straight line, and whose radius is the straight line itself. Ogni segmento è raggio di un cerchio.
4 All right angles are equal to one another. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5 If a straight line that meets two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, then those two straight lines, if extended, will meet on that same side. 2 segmenti tagliati da una trasversale, Se gli angoli interni dello stesso lato, sommati sono minori di 2 angoli retti  ⇒  prolungati si incontrano da quel lato.

credits: themathpage/BookI/first

 

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La formulazione italiana e' mia, non mima l'originale, ma ricerca la concisione.