^^Euclide. Postulati.

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I 5 postulati della geometria euclidea

Nota: Unicita'

Sebbene i postulati di Euclide affermano esplicitamente solo l'esistenza delle costruzioni, si sottende che le costruzioni sono uniche.

 

1.  Ogni coppia di punti e' connessa da un segmento.
2. Ogni segmento è prolungabile in linea retta.
3. Ogni estremo di segmento e' centro di un cerchio avente ii segmento come raggio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5. 2 segmenti tagliati da una trasversale,

somma angoli interni dello stesso lato, minore di 2 angoli retti 

⇒ i segmenti prolungati da quel lato si incontrano.

E' quindi possibile disegnare

1.  disegnare una linea retta tra 2 punti qualsiasi
2. prolungare un segmento quanto si vuole in linea retta
3. disegnare un cerchio di dato centro e raggio

 

Il segmento che unisce 2 punti e' unico

se 2 segmenti che uniscono 2 punti non coincidono, allora 2 linee rette racchiuderebbero uno spazio, il che e' impossibile per definizione4.  (un passo in prop4_book1)

Aristotle

"other things being equal, that proof is the better which proceeds from the fewer postulates or hypotheses or propositions."

cit- Hardy 124

Links

Euclide.

wp/Euclidean_geometry#Axioms

 

Commento

Interpreting Euclid's axioms in the spirit of a more modern approach

  1. axioms 1-4 are consistent with either infinite or finite space (as in elliptic geometry)
  2. all 5 axioms are consistent with a variety of topologies (e.g., a plane, a cylinder, or a torus for two-dimensional Euclidean geometry). ref: >>>

 

Rob commento

Domande

  1. chi dice che l'intersezione di 2 rette e' 1 punto ?
    R1: forse "def4 straight line is a line which lies evenly with the points on itself" si puo' interpretare: la retta che passa per 2 punti di una retta coincide con essa.

 

2 postulato. To extend a straight line for as far as we please in a straight line

and therefore we say that a straight line is potentially infinite. To be potentially infinite is in marked contrast to being actually infinite—which would mean that the straight line has no endpoints at all.

"Linea retta" e' intesa corta-finita, lo si induce dal postulato 2 che garantisce di poterla tracciare infinita; anche se prendendolo alla lettera e' "allungare finche' si vuole".

"Linea retta" oggi detto "segmento".

 

4 postulato

implicitamente: esiste l'angolo-grandezza

 

 

Approfond

Inglese-italiano

Unicita'

Although Euclid's statement of the postulates only explicitly asserts the existence of the constructions, they are also taken to be unique.

1 To draw a straight line from any point to any point. Ogni coppia di punti e' connessa da un segmento.
2 To extend a straight line as far as we please in a straight line Ogni segmento è prolungabile a retta.
3 To draw a circle whose center is the extremity of any straight line, and whose radius is the straight line itself. Ogni segmento è raggio di un cerchio.
4 All right angles are equal to one another. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5 If a straight line that meets two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, then those two straight lines, if extended, will meet on that same side. 2 segmenti tagliati da una trasversale, Se gli angoli interni dello stesso lato, sommati sono minori di 2 angoli retti  ⇒  prolungati si incontrano da quel lato.

credits: themathpage/BookI/first

 

Talk

La formulazione italiana e' mia, non mima l'originale, ma ricerca la concisione.