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Nearly two centuries ago Hermann Grassmann created an algebra of space; William Clifford subsequently unified the free part of it; a century later David Hestenes polished that into our modern Geometric Algebra, which unifies many disparate mathematical idioms. Unfortunately, in the enhancement of Grassmann we lost half of his algebra, the bound half, which directly articulates geometric locus. We can reclaim it without giving up the advances.

 

Non sommare pere con le mele (Pag. 31)

When Heaviside encountered the tired old nag just quoted, it provoked him to respond in a way I find hilarious: It is really quite legitimate to add together all sorts of different things. Everybody does it. My washer-woman is always doing it. She adds and subtracts all sorts of things, and performs various operations on them (including linear operations), and at the end of the week this poor 31 ignorant woman does an equation in multiplex algebra by equating the sum of a number of different things received in the basket at the beginning of the week to a number of things she puts in the basket at the end of the week.

rob: La somma formale e' la somma dei monomi e polinomi. Anche  5kg + 3 dm3 .

O meglio la somma di monomi e polinomi di scuola media superiore, si puo' intendere sia come somma di costanti o variabili determinate o indeterminate; nel caso di variabili indeterminate, e' una somma formale.

 

A bound element has both direction and locality. A free element has direction only,

Extending

Estensione di 2 punti.

a >>> b

b◄a . Verso b da a. b da a. Estendere fino a b partendo da a. Estendere a fino a b. a esteso fino a b.

ProprietÓ

b◄a = -(a◄b) neg-commutativa

b-a = -(a-b)  come la sottrazione

L'estensione ◄ rispetto alla somma di punti, algebricamente si comporta come un prodotto rispetto alla somma: vale la proprieta' distributiva. Cioe' algebricamente l'estensione e' considerata un prodotto.

Prototype bondage

b◄a = (b+v)◄(a+v)

when a translator of an extension is expressible in terms of the extension points, the algebra effectively ignores the translation. Otherwise not.

All point extensions get bound to the smallest linear space thru themselves in just this way. This space will be called the confining space of the extension.

(pag 44 To summarize and generalize).

Studio mio

 

Il punto medio (di un segmento, o di 2 punti) come omotetia. >>>

 

La partenza

B= A+(B-A)  che interpreto. B-A vettore V

La differenza di 2 punti e' un vettore.

La scrittura stuzzica, poiche' il risultato formalmente e' ottenibile applicando le usuali regole dell'algebra dei numeri relativi.

I numeri relativi gia' implicano che "-" non e' solo la sottrazione, ma anche la somma con l'opposto, quindi oltre un punto esiste il suo opposto.

Per es con questi o altri passaggi

A+(B-A)

(A+B)-A   proprieta' associativa

(B+A)-A   proprieta' commutativa

B+(A-A)   esiste l'opposto

B+0        e lo zero

B

 

 

Addizione scalata di 2 punti a b (=def) aa + bb

 

(A◄B) A esteso a partire da B

(B◄A) = -(A◄B)    ◄  e' una relazione neg-commutativa (neologismo di : antisimmetrica)

formalmente col segno -

(B-A) = -(A-B)

manipolando: -(A-B) = -A -(-B) = -A+B = B-A

A vector moves a point in inverse proportion to its weight.

A+(B-A) = A-A+B = B

2A + (B-A) = 2A-A+B = A+B  che e' mezza strada tra A e B, e peso 2.

Il peso del punto non cambia poiche' sommo un oggetto di peso zero.

3A + (B-A) = 3A-A+B = 2A+B

 

Teo: sommare a tutti i punti lo stesso punto A, che trasformazione produce?

X -> X+A   che trasformazione e'?

X+A e' il punto medio tra A e X, con peso 2. E' una omotetia centrale ! di fattore 0,5.

 

Teo: 2 omotetie centrali composte, che trasformazione producono?

L'intuizione mi dice:

- omotetia, poiche' un figura ingrandita di una ingrandita e' ancora ingrandita

- anche con la somma di punti, se vale la proprieta' associativa.

 

Cosi' come il bipunto B-A sposta da un punto ad un altro, un bivettore vtB-vtA sposta da un vettore a un altro

Barycentric coordinates, barycentric calculus >>>

 

Ente geometrico + numero

  1. retta + numero. Rappresentabile come segmento
  2. piano + numero. Rappresentabile come superficie.
  3. spazio + numero. Rappresentabile come volume.
     

    !!! Cosi' anche per il punto:
     

  4. punto + numero. Rappresentabile come:
    1. Punto "pesante", punto materiale
    2. punto forzato in una fissata direzione
    3. punto "voluminoso"

 

Scrivere il punto "pesato" sempre come prodotto del numero per il punto.
Analogia:
scrivere un vettore sempre come prodotto del numero per il versore.

 

Interessante la distinzione:

locate-then-weight expression, w(o + xx + yy + zz)