3 ... successione

Consideriamo la successione:

1	2	3	4	5	6		n
						...		... --> 1^-
2	3	4	5	6	7		n+1


2	3	4	5	6	7		n+1
						...		... --> 1⁺
1	2	3	4	5	6		n

Cosa dire? (Commento alla successione)

La prima cosa che mi viene e':

Numeratore e denominatore aumentano di 1 ad ogni passo.
L'unita' e' divisa in un numero sempre maggiore di parti, e ne manca sempre una per arrivare all'unita'. In termini formali:

1/2	2/3	3/4	4/5	5/6	6/7	7/8
1-1/2	1-1/3	1-1/4	1-1/5	1-1/6	1-1/7	1-1/8

E' crescente, la sua differenza da 1 diminuisce, ma e' sempre < 1.

Si puo' estendere aggiungendo 1 elemento all'inizio:

0/1	1/2	2/3	3/4	4/5	5/6	6/7	7/8
1-1/1	1-1/2	1-1/3	1-1/4	1-1/5	1-1/6	1-1/7	1-1/8

Scriverla in forma letterale

Si puo' scrivere in 2 forme:

forma per stati:

a[n] = b[n]/c[n] = (n-1)/n n ≥ 1

forma per trasformazioni:

a[n+1] = b[n+1]/c[n+1] = (b[n] + 1) / (c[n] + 1) n > 1

con la condizione iniziale b[1]/c[1] = 0/1

Formule letterali equivalenti, ma ...

	n-1		n
la successione		n ≥ 1 e' = alla succ		n ≥ 0
	n		n+1

ma scritta nella prima forma e' suggerito

n-1		1
	= 1-
n		n

cosa che l'altra forma non suggerisce.

Un'altra scrittura

2+n		3+n
	e la reciproca
3+n		2+n

che e' la forma piu' vicina al parlato: "numeratore e denominatore incrementano ad ogni passo della stessa quantità".

(n-1)/n = 1 - 1/n la successione (n-1)/n e' uguale alla successione costante ad 1, meno la successione 1/n.

E' un'interpretazione funzionale, cioe' considerando le operazioni tra successioni, cioe' dando priorita' nella descrizione alla successione nel suo complesso, piuttosto che cio' che accade ai suoi valori.

ref: Successione 1/n.

Si puo' anche pensare:

(n-1)/n + 1/n = 1 le 2 successioni sono complementari ad 1

teo: la successione n/n+1 -> 1 ed e' crescente.

La successione reciproca

La pagina alla nascita parlava solo di 1-1/n, da un po' (ago2012, spiegando a Giannizzero) mi rendo conto che e' opportuno unirla a 1+1/n, e cosi' 1/n andrebbe associata alla sua reciproca ed alla sua opposta.

Come puo' venire in mente ?

	2	3

	3	4

		3	4	5	6	7
...							...
		4	5	6	7	8

sono tanti i modi in cui ci si arriva, ognuno la scopre a suo modo.

Talk

Titolo

0/1 1/2 2/3 3/4 .... (n-1)/n.
c: e' abbastanza innaturale iniziare da zero col numeratore.
Quella che a me viene piu' spontanea e' n/(n+1)
c: titolo originale

Alter espo

1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 ... -> 1

frazioni scritte in riga, pero' nella mia mente l'imprinting e' la scrittura in colonna, nel senso che quando richiamo alla mente, vedo scorrere le frazioni in colonna.

Studio per la spaziatura

1	2	3	4	5	6	7	8	9
									... -> 1
2	3	4	5	6	7	8	9	10

1	2	3	4	5	6	7	8	9
									... -> 1
2	3	4	5	6	7	8	9	10

1	2	3	4	5	6	7	8	9
									... -> 1
2	3	4	5	6	7	8	9	10

1	2	3	4	5	6	7	8	9
									... -> 1
2	3	4	5	6	7	8	9	10

1	2	3	4	5	6	7
							... -> 1
2	3	4	5	6	7	8

1	2	3	4	5	6	7
							...	--> 1
2	3	4	5	6	7	8

1	2	3	4	5	6	7
							... --> 1
2	3	4	5	6	7	8

1	2	3	4	5	6	7
							... --> 1
2	3	4	5	6	7	8