^^Funzione esponenziale. Costante di  tempo, costante di x-dilatazione.

f(x) = Ae^x/k     forma usuale oltre Ae^kx

poiche' interpretabile

Ae^x/k  e' la x-dilatata di un fattore k di  Ae^x

Ae^x  e' la y-dilatata di un fattore A di  e^x .

Casi dell'esponenziale decrescente Ae^-x/k  al variare di k ed A

.ggb  varia k, poi A.    .ggb  varia A, poi k

Teo: f(x+k)= e·f(x)

dim:

per f(x)= e^x  è  f(x+1)= e^x+1 = e^xe¹ = e·f(x)

cosi come

per f(x)= e^x/k  è  f(x+k)= e^(x+k)/k = e^x/k+1 = e^x/ke¹ = e·f(x)

Esponenziale decrescente

f(x)= e^-x   f'(x)= -e^-x   f'(0)= -e⁰ = -1

la retta tangente nel punto (0,1) scendendo a -45° incontra l'asse x in +1.

y-dilatazione della figura curva+tangente

• non cambia la relazione di tangenza >>>
• non cambia l'intersezione della tangente con l'asse delle x.
  Si puo' pensare:
  • il punto di tangenza-partenza si allontana dall'asse x
  • contemporaneamente aumenta la sua pendenza,

  e queste variazioni si compensano in modo tale da invariare l'intercetta sull'asse x.

x-dilatazione della figura curva+tangente di un fattore k

• non cambia la relazione di tangenza
• cambia l'intersezione della tangente con l'asse delle x, viene moltiplicata per k. Siccome valeva 1, ora vale k.

In totale:

k e' l'ascissa dell'intersezione sull'asse x della retta tangente all'esponenziale nel punto di intersezione con l'asse y.

Approfond

alterDim Teo: f(x+k)= e·f(x)

dim:

per f(x)= e^x  è  f(x+1)= e·f(x);  dim: e^x+1 =  e^xe¹

cosi come

per f(x)= e^x/k  è  f(x+k)= e·f(x);  dim: e^(x+k)/k =  e^x/ke¹