^^Derivate successive del prodotto: nr di addendi del risultato.

u v  due funzioni della stessa variabile (che qui non importa nominare);

applichiamo la

derivando un prodotto (di 2 fun), si genera la somma di 2 prodotti (di 2 fun).

 

Ripetiamo la derivazione, lasciando indicata l'operazione, cioe' senza effettivamente eseguirla

(uv)'' = (u'v)' + (uv')'  =  u''v + u'v' + u'v' + uv''

ripetendo il passaggio di derivazione-generazione: ogni addendo ne genera 2, il nr di addendi aumenta moltiplicandosi per 2, e' una successione esponenziale 2n ;

pero' si nota che alcuni addendi sono uguali, e quindi sommandoli si riduce il nr di addendi:

 

=  u''v + 2u'v' + uv''    che ricorda ...

 

a2 + 2ab + b2    il binomio di 2  (a+b)2 .
    Per farlo piu' simile ...
a2b0 + 2a1b1 + a0b2   caso  o  ragione ?

 

Ripetiamo il passaggio di derivazione-generazione

 

(uv)'''   = (u''v)' + (2u'v')' + (uv'')'

= u'''v + u''v' + 2u''v' + 2u'v'' + u'v'' + uv'''

proseguendo sommando i simili, 6 addendi si riducono a 4;
nel pass precedente: da 3 a 2

  = u'''v  + 3u''v'  + 3u'v'' + uv'''       che e' isomorfo al binomio di 3
   = a3b0  + 3a2b1  + 3a1b2  + a0b3    
  (''',) ('',') (','') (,''')   in forma astratta l'isomorfismo
  (3,0) (2,1) (1,2) (0,3)    

la congettura e' che

proceda come per il binomio di grado n  (a+b)n .

Il tutto legato al

Triangolo di Tartaglia. (Da approfondire).

(0,0)

(1,0) (0,1)

(2,0) (1,1) (0,2)

(3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

(4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4)

        (0,0)

(1,0) (0,1)

(2,0) (1,1) (0,2)

(3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

(4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4)

Mi sono venuti i seguenti pensieri

1) La riduzione del nr di termini da un passaggio al seguente

fa passare

i primi 2 nr-numerosita' sono uguali, ma poi !!!  >>>

2) Accostare albero binario  e  triangolo di Tartaglia

L'albero si trasforma nel triangolo considerando uguali terminali che si riuniscono. In questa visione il triangolo di Tartaglia e' un reticolo.

 

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questo approfondimento sulla derivata del prodotto e' dovuto a Automatic differentiation, differenziazione automatica, algoritmica.

 

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Created 3-12-2020

Titolo

  1. Derivate successive del prodotto: numerosita' dell'espressione
    c: 3-12-2020 ori
  2. Derivate successive del prodotto: nr di addendi del risultato.
    c: 24-1-2021 "numerosita' dell'espressione" troppo generico.