^^Derivata uguale a 0.

Teo: f=k ⇒ Df=0. Se la funzione e' costante, allora la derivata e' zero.

dim: facile.

Il viceversa viene dato per scontato, ed invece la dimostrazione non e' per niente banale, ed e' un teorema di importanza centrale per le sue conseguenze.

Teo: Df=0 ⇒ f=k. Se la derivata e' 0, allora la funzione e' costante.

Corollario: se 2 funzioni hanno derivata uguale, allora differiscono per una costante.

Approfond

Enunciamo un teo che ha Df=0 ⇒ f=k come corollario.

Teo: f(b)-f(a) ≤ sup(f'([a,b])*(b-a)

a parole: l'incremento di una funzione ∆f in un intervallo ∆x e' limitato dal valori della derivata e dall'ampiezza di ∆x

mentalizziamoci su una funzione crescente, equi f'≥0
consideriamo la pendenza massima, precisamente l'estremo superiore di f': M=sup(f'([a,b]) che supponiamo finito
l'incremento di f in un intervallo [a,b], cioe' f(b)-f(a)
l'incremento se f crescesse sempre al valore massimo della pendenza, cioe' M*(b-a)

Corollario: f'=0 ⇒ ∆f=0 ⇒ f=k

Il teo in generale vale per gli spazi normati f: ℝ→Y