^^Numeri complessi.

dare la definizione di numero ...

2 possibilita': Definizione strutturale e funzionale dei numeri.

Definizione funzionale

non e' possibile definire il singolo numero complesso, poiche' il numero e' definito dalle sue proprieta' di relazione, quindi si puo' dire

• un numero complesso e' un elemento dell'insieme dei numeri complessi

e poi definire l'insieme dei numeri complessi

• i'insieme dei numeri complessi e' la chiusura algebrica dell'insieme dei numeri reali:
  1. i numeri complessi estendono i numeri reali, cioe' li hanno dentro di se'
  2. i polinomi si possono sempre scomporre in fattori in polinomi di 1° grado.

Esistono diverse forme dei numeri complessi.

Coppie ordinate (di Hamilton 1833) >>>

teoria puramente algebrica, cioe' senza ricorso alla geometria.

I numeri complessi sono coppie ordinate  (a,b)∈R²

cui si aggiunge un prodotto

(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

risulta un campo.

Le coppie (a,0) col 2° elemento 0, sono sottocampo isomorfo ai nr reali

(a,0)*(c,0) = (ac-0*0, a0+0c)     = (ac,0)

Forma algebrica binomio  a+ib

i nr complessi sono somme formali  a+ib

si applicano le usuali regole dell'algebra

v= a+ib  w=c+id

z= v+w = a+ib + c+id = a+c + i(b+d)

Per la moltiplicazione la regola fondamentale e'

i² = -1  !!!   che realizza la chiusura dell'operazione

                  (cioe' si riottiene un risultato della forma voluta)

z= v*w = (a+ib)*(c+id) = ac+iad+ibc+i²bd = ac-bd+i(ad+bc)

Forma vettoriale, nel piano di Argand-Gauss

inventato da Argand, e riconosciuto ampiamente dopo l'uso di Gauss.

Forma polare

sono le coordinatSistema di riferimento polare.