^^Gruppo algebrico. Intro.

La cosa piu' fondamentale e' isomorfismo

Isomorfismo.

If we have a soldier standing at attention on the drill field we can bark commands at him. The set of commands "Attention!," "Right face!," "Left face!," and "About face!," form a group under the operation followed by. "Left face!" followed by "About face!" has the same effect in terms of the final orientation of the soldier as the single command, "Right face!." "Attention!" is the identity element and each command has an inverse. "Right face!" and "Left face!" are inverses of each other and "Attention!" and "About face!" are each their own inverse.

Isomorfismo: 2 structures could be very different and yet be “basically the same”.

e' un'idea generale, e' il classificare, cosa alla quale il cervello e' adattato, cosa per cui siamo fatti.

• es: classificazione di strutture fisiche
  • es: la classificazione dei viventi, es i vertebrati condividono l'avere una colonna vertebrale, ma uomo e cane sono anche notevolmente diversi.
  • carte francesi e napoletane
• es: classificazione di comportamenti
  • es diversi sistemi di pagamento; ...

Esempi di gruppi isomorfi

1. rotazioni di un pentagono regolare (n-agono regolare)
   e gli interi modulo 5 (n) con l'addizione.
   Sono gruppi commutativi.
2. gruppi di Klein
3. permutazioni di 3 lettere a b c
   e rotazioni o simmetrie assiali di un triangolo.
   dim: basta mettere in corrispondenza biunivoca le lettere con i vertici del triangolo per convincersi dell'equivalenza.

Esempi di gruppi

1. rotazioni o simmetrie assiali di un n-agono regolare.
   Sono gruppi non commutativi (n>2).
2. I gruppi di permutazioni.
   I gruppi di permutazioni rivestono un particolare interesse perchè è stato dimostrato che ogni possibile gruppo finito è isomorfo a un gruppo di permutazioni.
   wp/Cayley's theorem states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group on G.
3. L'insieme delle possibili permutazioni delle 26 lettere dell'alfabeto e l'operazione di combinazione tra permutazioni costituiscono un gruppo che ha particolare interesse in ambito crittografico; molti cifrari si basano infatti su sostituzioni di una lettera con un'altra, e cioè appunto su permutazioni delle lettere dell'alfabeto. ref: http://www.crittologia.eu/index.htm