0*x = 0, x*0 =0 ∀x. Zero per qualsiasi elemento fa zero.
Il prodotto distributivo, riletto come funzioni sezione di una funzione di 2 variabili, dice che la moltiplicazione per un fissato elemento e' un omomorfismo del gruppo additivo:
x → ax e' un omomorfismo, poiche' a(x+y) = a(x) + a(y)
RemTeo: l'immagine dello zero e' lo zero, in un omomorfismo.
a(b+0) | = ab + a0 | |
= ab poichè b+0=b | ⇒ ab = ab+a0 ⇒ a0 = 0 |
Idem dall'altro lato.
a0 = a(0+0) = a0+a0 ⇒ a0 = 0
Idea: se la somma e' invertibile, cio' lo spazio e' un gruppo additivo, allora 0=a-a, lo
zero si puo' scrivere come somma degli opposti.
x0 = x(a-a) = xa-xa = 0. QED.
Solo che c'e' un errore: lo sviluppo della distribuzione precisamente e':
x(a-a) = xa+x(-a)
e non c'e' nulla che garantisca che x(-a) = -(xa). Questa identita' e' la "Regola dei segni".
La moltiplicazione per 0 e' l'omomorfismo del gruppo additivo che collassa lo spazio al solo zero.