^^Regola: moltiplicare per 0 fa 0. *0=0.

Regola dello zero

0*x = 0,  x*0 =0   ∀x.  Zero per qualsiasi elemento fa zero.

Teo: Vale la regola "moltiplicare per 0 fa 0" se il prodotto e' distributivo.

dim principe:

Il prodotto distributivo, riletto come funzioni sezione di una funzione di 2 variabili, dice che la moltiplicazione per un fissato elemento e' un omomorfismo del gruppo additivo:

x → ax  e' un omomorfismo, poiche' a(x+y) = a(x) + a(y)

RemTeo: l'immagine dello zero e' lo zero, in un omomorfismo.

dim1:

a(b+0) = ab + a0  
  = ab poichè b+0=b   ⇒ ab = ab+a0  ⇒  a0 = 0

Idem dall'altro lato.

dim2:

a0 = a(0+0) = a0+a0   ⇒  a0 = 0

dim errata, ma che sembra esatta:

Idea: se la somma e' invertibile, cio' lo spazio e' un gruppo additivo, allora 0=a-a, lo

zero si puo' scrivere come somma degli opposti.

x0 = x(a-a) = xa-xa = 0. QED.

Solo che c'e' un errore: lo sviluppo della distribuzione precisamente e':

x(a-a) = xa+x(-a)

e non c'e' nulla che garantisca che x(-a) = -(xa). Questa identita' e' la "Regola dei segni".

 

La moltiplicazione per 0 e' l'omomorfismo del gruppo additivo che collassa lo spazio al solo zero.

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