^^Misura archimedea dei numeri naturali.

Gli Spazi archimedei, per la loro struttura, permettono la definizione-costruzione d:
- MISURA ARCHIMEDEA, che qui trattiamo. ref: Cosa e' una misura?
- GRANDEZZA ARCHIMEDA associata alla misura archimedea

Scale regolari

In un semigruppo ordinato:

 

      u      2u     3u     4u     5u     6u     7u     8u ...
))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))
 

consideriamo la scala dei multipli di un elemento u.
Lo chiamo "u" poiche' alla fine del discorso sara' interpretato giustificatamente come "unita' di misura".
Ricordiamoci di pensare sia per elementi singoli che per classi di equivalenza: la scala e' interpretabile sia come una scala di elementi singoli che come una scala di classi di equivalenza.
Il raccordo tra i 2 pv elemento/classe e': pensare agli elementi singoli come rappresentanti d clas d equivalenza.
Fissiamo le idee su un es: la misura del peso.
u= 1 piombino-unita'  nu= n piombini-unita'
E' utile pensare alla scala in un duplice modo:
- come scala della grandezza specifica, es scala dei pesi
- come scala della numerosita', es dei piombini
e' opportuno pensare agli elementi d scala come a rappresentanti le classi di equi-peso, o come le classi di equi-peso stesse.

Corrispondenza numerosita' <-> grandezza.
Iniezioni canoniche dei naturali nello spazio archimedeo

Consideriamo la funzione che associa a un intero il multiplo rispetto a un fissato elemento base ref: potesp

f: N->SG
   n->f(n):=nu
teo: f e' una iniezione: se m<>n  => mu<>nu

dim: l'iniettivita' e' conseguenza delle proprieta' di semigruppo ordinato: la scala e' crescente e non diventa ciclica.

teo: f e' lineare, f e' un isomorfismo.

Introduciamo la funzione inversa di f
m: M(u)->N
nu->m(nu):=n
La chiamo "m" poiche' alla fine del discorso sara' interpretata giustificatamente come "misura dei multipli".
Diciamo che la misura dell'unita' e' il numero 1 e la misura di un multiplo e' il numero moltiplicatore dell'unita' che lo produce. In simboli m(u)=1, m(nu)=n.
E' una misura a valori numeri naturali, a numeri interi.

Teo: per la MISURA dei MULTIPLI vale la proprieta' fondamentale:
     LA MISURA DEL COMPOSTO E' = SOMMA D MISURE D COMPONENDI

m(a+b)=m(a)+m(b)  la misura e' lineare
a=pu  -> p
b=qu  -> q
pu+qu -> p+q   dim: pu+qu=(p+q)u -> p+q
dim1: la funzione inversa di una funzione lineare e' lineare.

Conclusione:
Teo: IN UN SEMIGRUPPO ORDINATO:
I MULTIPLI DI UN ELEMENTO SONO ISOMORFI AI NUMERI NATURALI visti come semigruppo ordinato.
Il numero naturale corrispondente a un multiplo e' la misura della grandezza.

L'UNITA' DI MISURA
Per le proprieta' su esposte, l'elemento "u" si puo' interpretare come la scelta un "metro" di riferimento, rispetto al quale vogliamo confrontare gli altri elementi.


===========================================================
         PARTE INTERA              GRADO INTERO
DIFETTO  parte intera per difetto  grado intero per difetto
ECCESSO  parte intera per eccesso  grado intero per eccesso
===========================================================

Per gli elementi della scala, la misura e' gia fatta, il problema e' come fare con, come misurare, gli altri elementi.
Per capire come fare:
VALUTAZIONE per DIFETTO/ECCESSO
supponiamo che un elemento stia tra 2 elementi della scala
a=pu < x < b=qu
possiamo dire che "x" non e' esattamente determinato, pero'
"a" e' una VALUTAZIONE per DIFETTO      a=valdif(x)
"b"        VALUTAZIONE per ECCESSO      b=valecc(x)
valdif(x) < x < valecc(x)
Se valecc(x)=valdif(x)+u cioe' le valutaz per difetto e eccesso differiscono di 1 unita', cioe' detto coi gradi q=p+1, abbiamo la migliore approssimaz possibile con multipli interi
PARTE INTERA per DIFETTO/ECCESSO
int(x) =< x < int(x)+u
"a"     e' la PARTE INTERA per DIFETTO di "x"   a=int(x)
"b"           PARTE INTERA per ECCESSO di "x"   b=intec(x)
p=q-1   e' il GRADO INTERO per DIFETTO di "x"   p=gr(x)
q=p+1         GRADO INTERO per ECCESSO di "x"   q=grec(x)
teo: int(x)=gr(x)u       intec(x)=grec(x)u
     intec(x) = int(x)+u
     grec(x)  = gr(x) +1
teo: d MISURA APPROSSIMATA AGLI INTERI:
     LA MISURA D COMPOSTO E' CIRCA UGUALE ALLA SOMMA D MISURE      D COMPONENTI.
     L'ERRORE E' AL PIU': 1 UNITA'.
     gr(a+b) = gr(a)+gr(b)
             o gr(a)+gr(b)+1
     int(a+b)= int(a)+int(b) 
             o int(a)+int(b)+u
dim: chiamiamo u l'elemento di riferimento, generatore la scala.
Esprimendo coi gradi:
gr(a)u =< a < (gr(a)+1)u
Esprimendo con le parti intere:
int(a) =< a < int(a)+u    idem b
Sommando membro a membro: gradi:
gr(a)u+gr(b)u =< a+b < (gr(a)+1)u + (gr(b)+1)u
(gr(a)+gr(b)) =< a+b < (gr(a)+gr(b)+2)u
Parti intere: int(a)+int(b) =< a+b < int(a)+u+int(b)+u =
                                     int(a)+int(b)+2u 

Proprieta' archimedea.

---c: sfruttando il paragone tra: misura d lunghezze  / misura dei volt, cercare di ampliare il sistema di misuraz dei volt dai gradi interi ai gradi ... frazionarii

Sioli: il sistema di misura puo' essere ampliato, seguendo il paragone, solo se lo si pensa come un sistema costruito in base a scale diverse.
Infatti si potrebbe definire una scala relativa al sistema di SERIE CONCORDE, e un'altra scala relativa al sistema CONTRAPPOSIZIONE DI GENERATORI.
Secondo il mio punto di vista esse sono distinte tra loro (cosi' come si puo' notare dalla costruzione della frase del professore).
Il sistema di misura e' ampliato quindi dalle 2 scale, anche se secondo me non e' possibile definire con precisione i parametri della scala, perche' non si e' ancora definito il sistema di misurazione, che rimane ancora un sistema non definito, come un qualcosa di astratto.
In conclusione penso che il sistema e' definito astrattamente come il paragone tra 2 scale:
- quella relativa al sistema di SERIE CONCORDE
- quella relativa al sistema di CONTRAPPOSIZIONE DI 2 GENERATORI

 

Links

brotherOf: Misura archimedea; esempi.

 

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Titolo alter

Misura archimedea discreta, o misura dei numeri naturali.