Gli Spazi archimedei, per la loro struttura, permettono la
definizione-costruzione d:
- MISURA ARCHIMEDEA, che qui trattiamo. ref: Cosa e' una misura?
- GRANDEZZA ARCHIMEDA associata alla misura archimedea
In un semigruppo ordinato:
u 2u 3u 4u 5u 6u 7u 8u ... ))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))*))))))
consideriamo la scala dei multipli di un elemento u.
Lo chiamo "u" poiche' alla fine del discorso sara' interpretato
giustificatamente come "unita' di misura".
Ricordiamoci di pensare sia per elementi singoli che per classi di equivalenza:
la scala e' interpretabile sia come una scala di elementi singoli che come una
scala di classi di equivalenza.
Il raccordo tra i 2 pv elemento/classe e': pensare agli elementi singoli come
rappresentanti d clas d equivalenza.
Fissiamo le idee su un es: la misura del peso.
u= 1 piombino-unita' nu= n piombini-unita'
E' utile pensare alla scala in un duplice modo:
- come scala della grandezza specifica, es scala dei pesi
- come scala della numerosita', es dei piombini
e' opportuno pensare agli elementi d scala come a rappresentanti le classi di
equi-peso, o come le classi di equi-peso stesse.
Consideriamo la funzione che associa a un intero il multiplo rispetto a un fissato elemento base ref: potesp
f: N->SG n->f(n):=nu teo: f e' una iniezione: se m<>n => mu<>nu
dim: l'iniettivita' e' conseguenza delle proprieta' di semigruppo ordinato: la scala e' crescente e non diventa ciclica.
teo: f e' lineare, f e' un isomorfismo.
Introduciamo la funzione inversa di f
m: M(u)->N
nu->m(nu):=n
La chiamo "m" poiche' alla fine del discorso sara' interpretata
giustificatamente come "misura dei multipli".
Diciamo che la misura dell'unita' e' il numero 1 e la misura di un multiplo e'
il numero moltiplicatore dell'unita' che lo produce. In simboli m(u)=1, m(nu)=n.
E' una misura a valori numeri naturali, a numeri interi.
Teo: per la MISURA dei MULTIPLI vale la proprieta' fondamentale:
LA MISURA DEL COMPOSTO E' = SOMMA D MISURE D COMPONENDI
m(a+b)=m(a)+m(b) la misura e' lineare a=pu -> p b=qu -> q pu+qu -> p+q dim: pu+qu=(p+q)u -> p+q dim1: la funzione inversa di una funzione lineare e' lineare.
Conclusione:
Teo: IN UN SEMIGRUPPO ORDINATO:
I MULTIPLI DI UN ELEMENTO SONO ISOMORFI AI NUMERI NATURALI visti come semigruppo
ordinato.
Il numero naturale corrispondente a un multiplo e' la misura della grandezza.
L'UNITA' DI MISURA
Per le proprieta' su esposte, l'elemento "u" si puo' interpretare come
la scelta un "metro" di riferimento, rispetto al quale vogliamo
confrontare gli altri elementi.
===========================================================
PARTE
INTERA
GRADO INTERO
DIFETTO parte intera per difetto grado intero per difetto
ECCESSO parte intera per eccesso grado intero per eccesso
===========================================================
Per gli elementi della scala, la misura e' gia fatta, il problema e' come fare con, come misurare, gli altri elementi. Per capire come fare:
VALUTAZIONE per DIFETTO/ECCESSO supponiamo che un elemento stia tra 2 elementi della scala a=pu < x < b=qu possiamo dire che "x" non e' esattamente determinato, pero'
"a" e' una VALUTAZIONE per DIFETTO a=valdif(x) "b" VALUTAZIONE per ECCESSO b=valecc(x) valdif(x) < x < valecc(x) Se valecc(x)=valdif(x)+u cioe' le valutaz per difetto e eccesso differiscono di 1 unita', cioe' detto coi gradi q=p+1, abbiamo la migliore approssimaz possibile con multipli interi
PARTE INTERA per DIFETTO/ECCESSO int(x) =< x < int(x)+u "a" e' la PARTE INTERA per DIFETTO di "x" a=int(x) "b" PARTE INTERA per ECCESSO di "x" b=intec(x) p=q-1 e' il GRADO INTERO per DIFETTO di "x" p=gr(x) q=p+1 GRADO INTERO per ECCESSO di "x" q=grec(x)
teo: int(x)=gr(x)u intec(x)=grec(x)u intec(x) = int(x)+u grec(x) = gr(x) +1
teo: d MISURA APPROSSIMATA AGLI INTERI: LA MISURA D COMPOSTO E' CIRCA UGUALE ALLA SOMMA D MISURE D COMPONENTI. L'ERRORE E' AL PIU': 1 UNITA'. gr(a+b) = gr(a)+gr(b) o gr(a)+gr(b)+1 int(a+b)= int(a)+int(b) o int(a)+int(b)+u dim: chiamiamo u l'elemento di riferimento, generatore la scala. Esprimendo coi gradi: gr(a)u =< a < (gr(a)+1)u Esprimendo con le parti intere: int(a) =< a < int(a)+u idem b Sommando membro a membro: gradi: gr(a)u+gr(b)u =< a+b < (gr(a)+1)u + (gr(b)+1)u (gr(a)+gr(b)) =< a+b < (gr(a)+gr(b)+2)u Parti intere: int(a)+int(b) =< a+b < int(a)+u+int(b)+u = int(a)+int(b)+2u
Proprieta' archimedea.
Sioli: il sistema di misura puo' essere ampliato, seguendo il paragone, solo
se lo si pensa come un sistema costruito in base a scale diverse.
Infatti si potrebbe definire una scala relativa al sistema di SERIE CONCORDE, e
un'altra scala relativa al sistema CONTRAPPOSIZIONE DI GENERATORI.
Secondo il mio punto di vista esse sono distinte tra loro (cosi' come si puo'
notare dalla costruzione della frase del professore).
Il sistema di misura e' ampliato quindi dalle 2 scale, anche se secondo me non
e' possibile definire con precisione i parametri della scala, perche' non si e'
ancora definito il sistema di misurazione, che rimane ancora un sistema non
definito, come un qualcosa di astratto.
In conclusione penso che il sistema e' definito astrattamente come il paragone
tra 2 scale:
- quella relativa al sistema di SERIE CONCORDE
- quella relativa al sistema di CONTRAPPOSIZIONE DI 2 GENERATORI
brotherOf: Misura archimedea; esempi.
Misura archimedea discreta, o misura dei numeri naturali.