^^Cinematica della posizione del moto su una linea. Cinematica di una grandezza scalare variabile nel tempo. Formule.

Descrizione

Formula

Precis

Grandezze cinematica

s Ds t Dt v Dv a Da

Definizione di velocità e

accelerazione media

v_m = ∆s / ∆t
a_m = ∆v / ∆t

Anticipazione del seguito, scritto

in riga evidenziando somiglianza

pos e tm, iniziale1 e finale2

ini: s₁ t₁ fin: s₂ t₂

posizione s e tempo t

Incremento pos e tm

∆s= s₂-s₁ ∆t= t₂-t₁

s₂= s₁+∆s t₂= t₁+∆t

incremento col segno

Velocita' media v_m[t₁;t₂]

= rapporto incrementale della

pos, nell'intervallo [t₁;t₂]

	∆s		s₂-s₁		s
v_m=		=		=
	∆t		t₂-t₁		t

s e t equivoci: doppio significato.
s posizione e spazio percorso

t istante e tempo trascorso

Velocita' istantanea

= limite del

rapporto incrementale

		∆s
v_i =	limite
	∆t→0	∆t

		s₂-s₁
v_i[t₁] =	limite
	t2→t1	t₂-t₁

MVK moto a velocita' k

(Moto uniforme).

Definizione.

v_m = v_i = k = v₀ ≡ v

∆s=k∆t k e' la v: ∆s=v∆t

a=0

s₂= s₁+∆s = s₁+v∆t

Acceleraz media a_m[t₁;t₂]

= rapporto incrementale della

velocità, nell'intervallo [t₁;t₂]

	∆v		v₂-v₁
a_m=		=
	∆t		t₂-t₁

v non si usa per indicare ∆v

(diversamente da s).

Accelerazione istantanea

= limite del

rapporto incrementale

		∆v
a_i =	limite
	∆t→0	∆t

		v₂-v₁
a_i[t₁] =	limite
	t2→t1	t₂-t₁

MAK moto ad acceleraz costante.

Definizione.

E' uguale alla def MVK,

sostituendo v con a

a_m = a_i = k = a₀ ≡ a

∆v=k∆t k e' la a: ∆v=a∆t

∆a=0

v₂= v₁+∆v = v₁+a∆t

Partenza da fermo v₀=0

Partenza in velocita' v₀≠0

v= at
	1		t²
s=		a
	2

s spazio percorso

t tm trascorso

Spazio e velocità in

funzione del tempo

∆v = a∆t				v= v₀ + at
	1		t²
s= v₀t +		a
	2

v_t= v₀ + at
	1		t²
s_t= v₀t +		a
	2

v = 2v_m v_m =v/2

v_m = (v₁+v₂)/2

v_i[t]= 2v_m[0;t]

v_i[t/2]= v_m[0;t]

a= v/t v=2v_m v_m=s/t

a= v/t = 2v_m/t = 2s/t²

v_m = v_i a metà tempo
v_i = v_m centrata sull'istante

v_m[t1;t2] = v_i[(t1+t2)/2]

v_i[t]= v_m[t-T;t+T]

	1	v²	a=v²/2s
s=
	2	a	v= √(2sa)

qui le variabili sono s v a,

posso esplicitare ognuna

v²=2sa

1
	v² =	a∆s
2

	v²-v₀²
s=
	2a	\|a≠0

v²-v₀² = 2as

v² = v₀² + 2as

1		1
	v² -		v₀² =a∆s
2		2

v= √(v₀²+2as)

Velocita' raggiunta in funzione
d spazio percorso, e viceversa

es: Velocita' finale di caduta

t= √(2s/a)

Per ricavare la durata

con partenza lanciata.

ax²+bx+c=0 ∆=b²-4ac

(-b ± √∆)/2a

(1/2)at²+v₀t-s=0

∆=v₀²+4(1/2)as

(-v₀ ± √(v₀²+2as))a

che e' interpretabile come

incremento di velocita'

fratto accelerazione

La velocita' istantanea

Della velocita' istantanea e' inevitabile parlare, poiche' e' nella definizione di accelerazione, ma e' d'uso lasciarla a livello intuitivo, poiche' la sua definizione matematica rigorosa e' fatta con l'operazione di limite, che e' sconosciuta agli allievi cui la si propone. Pero' ricordiamoci del Principio di Marioni.

Come si fa a calcolare la velocita' istantanea, essendoci l'operazione di limite?

Velocita' istantanea di un MAK, Come calcolarla dai dati sperimentali di posizione ?

La velocita' istantanea e' uguale ad una qualsiasi velocita' media centrata sul suo istante.

Ridetto dalla prospettiva della velocita' media: la velocita media e' uguale alla velocita' istantanea al centro del suo intervallo temporale.

MVK: v_m = v_i = k = v₀ ≡ v

Una possibile definizione di MVK e' v_m = k. Con questa definizione si puo' pensare di insegnare evitando di introdurre l'operazione mtm di limite, necessario per la velocita' istantanea. Da un punto di vista formale equivale a dire che il rapporto s/t e' costante. Solo che cio' che si tenta di cacciare dalla porta rientra dalla finestra, poiche' nella definizione di accelerazione si usa proprio la velocita' istantanea, cio' che si e' cercato di evitare.
Un'altra possibilita' e' dire tutto nella forma finale, e lasciare al buon senso e al tempo la definizione-dimostrazione formale. La velocita' media e' uguale alla velocita' istantanea, uguale a una costante, uguale alla velocita' iniziale, il tutto indicato per semplicita' v. Sono condizioni equivalenti tra loro. Ognuna di esse, o tutte insieme, possono essere prese come definizione di MVK.

Alter

La velocita media e' uguale alla velocita' istantanea nell'istante centrale.

La velocita' istantanea e' uguale ad una qualsiasi delle velocita' medie che la hanno al centro del loro intervallo temporale.

Come distinguere i nomi-simboli di "velocita' media" e "velocita' istantanea"?

v = velocita' istantanea del moto. La indico senza pedice, altrimenti scriverei v_i; segno col pedice la velocità media v_m.

Equivoco

"Posizione e tempo, iniziali e finali ...", del moto oppure di un tratto del moto?

Come indicare la corrispondenza di una grandezza con un certo istante t, o intervallo [t1;t2]

Es: Come indicare l'associazione della velocita' ad un certo istante t?

Modi	v= v₀ + at	non indicarla
	v_t= v₀ + a*t	pedice
	v[t]= v₀ + a*t	in linea tra parentesi quadre. Lo standard matematico sarebbe parentesi tonde, ma si confonde con la scrittura delle espresioni.

Esempi

v[t] = velocità istantanea al tempo-istante t
v_m[0;t] = velocita' media nell'intervallo tra 0 e t

Il significato del pedice 0 (zero). Cosa significa s₀=0 v₀=0 t₀=0, oppure s₀≠0 v₀≠0 t₀≠0?

Cosa significa t₀=0, oppure t₀≠0?

L'inizio del moto, coincide o no con l'origine dei tempi.

Spiego piu' ampiamente: il moto, come ogni fenomeno, ha un inizio. Questo "inizio" dei fenomeni e' una manifestazione concreta dell'ordine del tempo, del tempo stesso. Astraendo l'idea di tempo, possiamo dire che l'inizio di un fenomeno e' l'inizio contemporaneo dei tanti aspetti del fenomeno, tra cui il suo inizio temporale.

Possiamo immaginare un tempo che nasce col fenomeno, lo potremmo chiamare il "tempo proprio".

La coordinata temporale di un fenomeno.

t₀ = tempo iniziale del moto. Si usa questa indicazione perche' il moto si puo' riferire anche a un tempo che non inizia col moto stesso; es: la tabella oraria di un treno.
v₀ = velocità iniziale del moto. E' la velocita al tempo t = 0 se 0 e' il tempo iniziale del moto.

Incremento CON SEGNO di una variabile. Incremento o variazione, o differenza?

Rapporto incrementale di una retta

Valore centrale di un segmento, e di una corrispondenza uniforme y=kx+b

Considerato un intervallo [x₁;x₂] il valore centrale e' x_c = (x₁+x₂)/2

Considerato un intervallo [y₁;y₂] il valore centrale e' y_c = (y₁+y₂)/2

se x₁ ® y₁ e x₂ ® y₂ allora x_c ® y_c

cioe': (y₁+y₂)/2 = y[(x₁+x₂)/2)]

Es: MVK: (v₁+v₂)/2 = v[(t₁+t₂)/2)]

Precisazioni

Incremento col segno,
(di una variabile).
Diverse rappresentaz

∆y = y₂-y₁
≡ y₁-y₀
≡ y-y₀

∆x = x₂-x₁
≡ x₁-x₀
≡ x-x₀

∆t = t₂-t₁
≡ t₁-t₀
≡ t-t₀

Caso particolare:

y=∆y |y₀=0

x=∆x |x₀=0

t=∆t |t₀=0

Rapporto
incrementale
di una funzione.

y=f(x)	x	y
stato₁	x₁	y₁
stato₂	x₂	y₂

	∆y		y₂-y₁
y' =		=
	∆x		x₂-x₁

	∆y'		y'₂-y'₁
y"=		=
	∆x		x₂-x₁

Velocita' di variaz
d u grandezza.

∆y = y₂-y₁∆t = t₂-t₁

	∆y		y₂-y₁
v≡v_y=		=
	∆t		t₂-t₁

	∆v_y		v₂-v₁
a≡a_y=		=
	∆t		t₂-t₁

MAK s in f t

s₀≠0 v₀≠0 t₀≠0

	1
x_t= x₀ + v₀*t +		at²
	2

Scritte con pedici diversi: 1 e 2, oppure 0 e niente

pos e tm iniziale

ini: s₀ t₀ fin: s t

incremento pos e tm

∆s=s-s₀ ∆t=t-t₀

Velocita' media

= rapporto incrementale

v_m[t₀;t]

	∆s		s-s₀		s
v_m=		=		=
	∆t		t-t₀		t

s e t equivoci: doppio significato.
s posizione e spazio percorso

t istante e tempo trascorso

Le molte formule del MAK

Sono tante, ma tutte derivabili dall'unica a=k.

Precis modi brevi

velocita' media	= velocita' media	del moto di un punto mobile su una linea
velocita' istantanea	= velocita' istantanea	del moto di un punto mobile su una linea
accelerazione media	= accelerazione media	del moto di un punto mobile su una linea
accelerazione istantanea	= acceleraz istantanea	del moto di un punto mobile su una linea

Come indicare un intervallo, da un ben preciso istante ad un altro, non solo la sua ampiezza

evitare di farlo dicendolo sempre a parole, ogni volta come viene
dirlo a parole, ma cercare uno schema
- dal tempo 2,3 al tempo 5,7 s
- da 2,3 s a 5,7 s. Tra 2,3 e 5,7 s.
- da 2,3 s fino a 5,7 s
usare la notazione standard matematica di intervallo [a,b]. Pero' la virgola separatrice confonde nel caso di numeri con la virgola, per cui io uso come separatore ...
[2,3 ; 5,7] s

L'accelerazione si puo' calcolare da s e t:

- con 1 solo calcolo a= 2s/t²

- con 3 calcoli consecutivi:
   - velocita' media v_m=s/t
   - velocita' finale v=2v_m
   - acceleraz a= v/t

Links

Confronto cinematica e dinamica moto traslatorio e rotatorio.

MAK generali v0 qualsiasi.

Didattica

Es: v_m= (v₁+v₂)/2 = v((t₁+t₂)/2))

un'espressione cosi' risulta incomprensibile agli allievi poiche' mescola la scrittura delle funzioni e quella delle espressioni.

Lo stesso problema lo avrebbe un analizzatore di espressioni, poiche' questa espressione dipende dal contesto per essere compresa.

Forse una soluzione e' quella di utilizzare le parentesi quadre per le funzioni.

Alter espo

MVK: v_m=k v_i =k=v₀ v_m=v_i

MAK: a_m=k a_i =k=a₀ a_m=a_i

Deposito scritture eventualmente da utilizzare

caso v₀=0				caso v₀≠0
v= at				v= v₀ + at
	1		t²		1		t²
s=		a		s= v₀t +		a
	2				2