^^Momento d'inerzia. Segmento che giace su un raggio di rotazione, ma staccato dal centro.

 

Segmento che giace su un raggio di rotazione, ma staccato dal centro.

 

O-----------A====B 

 

CM = passante per il centro di massa

Corpo Asse di rotazione Momento d'inerzia
Punto distanza R dall'asse mR2
Segmento,

lung H

 perpendicolare, CM (1/12)*m*H2
perpendicolare, passante per l'estremo (1/3)*m*H2
perpendicolare,

distante R: dal centro di rotazione

all'estremo vicino

O-----------A====B   
 RRRRRRRRRRR HHHH
 (1/3)m( (R+H)2 + (R+H)*R + R2 )

 

posto H/R= k

mR2(1+k+k2/3)

  perpendicolare,

distante R: dal centro di rotazione
al centro del segmento 

             HHHH
O-----------A====B   
 RRRRRRRRRRRRRR
 (1/12)mH2 +mR2

 

posto H/R= k

mR2(1+k2/12)

Pendolo fisico nel caso di cilindro appeso al centro della base, ad un filo ininfluente.

 

Molte formule sono riportabili una all'altra con il Teo del trasporto dell'asse di rotazione: Jx = JxG + md2 

Teo: Segmento che giace su un raggio di rotazione, ma staccato dal centro.

Come caso concreto penso al pendolo con un cilindro come corpo pendolare.

 

O-----------A====B   
 RRRRRRRRRRR HHHH
 

O = centro di rotazione
AB segmento in considerazione, di lunghezza H
OA raggio fino all'inizio del segmento, di lunghezza R

 

AB ottenuto in 3 modi:
 

  1. AB = OB-OA    sottrazione di 2 raggi-segmenti.
     
  2. B====A-----------O-----------A====B   

    AB = (BB-AA)/2    sostanzialmente e' come il caso 1, solo simmetrizzato
     

  3. spostamento parallelo dell'asse dal centro
     

dim:

λ = m/H e' la densita' di massa lineare
mA = λ*R calcolo la massa di A
mB = λ*(R+H) calcolo la massa di B
IA=(1/3)*mA*R2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OA
IB=(1/3)*mB*(R+H)2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OB
IAB = IB-IA

=(1/3)*mB*(R+H)2 - (1/3)*mA*R2

 additivita' del momento di inerzia
= (1/3)*λ*( (R+H)*(R+H)2 - R*R2) sostituisco mA e mB e raccolgo a fattor comune
= (1/3)*λ*( (R+H)^3 - R^3)

= (1/3)*λ*( (R+H- R)*( (R+H)2 + (R+H)*R + R2)

 a3 - b3 = (a - b)*(a2 + ab + b2)
= (1/3)*m*( (R+H)2 + (R+H)*R + R2 )
  = (1/3)*m*( R2+H2 +2RH + R2+RH + R2 )  
  = (1/3)*m*( 3R2+H2 +3RH ) posto H/R= k
  = (1/3)mR2(3+3k+k2)  
  = mR2(1+k+k2/3)  

Calcolo 2 e' come il calcolo 1

λ = m/H e' la densita' di massa lineare
mAA = λ*2*R calcolo la massa di AA
mBB = λ*2*(R+H) calcolo la massa di BB
IAA=(1/12)*mAA*(2*R)2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OA
IBB=(1/12)*mBB*(2*(R+H))2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OB

Calcolo 3 tramite lo spostamento parallelo dell'asse

H/2 + R e' lo spostamento dell'asse
(1/12)*m*H2 +m*(H/2+R)2 calcolo la massa di A

Calcolo integrale

λ = m/H e' la densita' di massa lineare
  ∑R2λdx  

Confronto i risultati

Il modo che scelgo per confrontare e' di sviluppare fino alla fine le 2 espressioni e poi confrontare gli sviluppi.
Non ritrascrivo m perche' fattore comune.

Prima espressione
(1/12)*H2 +(H/2+R)2
(1/12)*H2 +(1/4)*H2 +R*H+R2
(4/12)*H2 + R*H +R2
(1/3)*H2 + R*H +R2
Seconda espressione
= (1/3)*m*( (R+H)2 + (R+H)*R + R2 )
(1/3)*(R2+H2+2*R*H +R2+R*H+R2)
(1/3)*(H2+3*R*H+R*H+3*R2)
(1/3)*H2 + R*H +R2

 

R: distanza dal centro di rotazione al centro del segmento

Calcolo tramite lo spostamento parallelo dell'asse di rotazione

R e' lo spostamento dell'asse
(1/12)mH2 +mR2 calcolo la massa di A