^^Potenza elettrica assorbita o generata da un bipolo; P=V*I; dimostrazione, approfondimento.

P=V*I = R*I² = V²/R

La potenza elettrica assorbita da un bipolo e':   P=V*I     V I P tensione, corrente e potenza del bipolo.

La potenza elettrica generata da un bipolo e':   P=V*I      V I P tensione, corrente e potenza del bipolo.

Per dimostrare la formula della potenza ci sono 2 modi:

• considerazioni sui bipoli composti serie e parallelo
• modello di carica elettrica e forza elettrica

Dimostrazione basata sui bipoli composti serie e parallelo; traccia.

Serie. Famiglia di bipoli composti serie di bipoli uguali.
				Bipoli componenti uguali I = costante, per ipotesi Conclu: P=k*V P=(P1/V1)*V
V1	V2=2*V1	V3=3*V1	V4=4*V1	VN=N*V1
P1	P2=2*P1	P3=3*P1	P4=4*P1	PN=N*P1
Parallelo Famiglia di bipoli composti parallelo di bipoli uguali.
				Bipoli componenti uguali V = costante, per ipotesi Conclu: P=k*I P=(P1/I1)*I
I1	I2=2*I1	I3=3*I1	I4=4*I1	IN=N*I1
P1	P2=2*P1	P3=3*P1	P4=4*P1	PN=N*P1

Per generalizzare questo risultato, per far che sia:

P=k*V    | I=cost   per bipoli qualsiasi, non solo per i bipoli composti serie di bipoli uguali

P=k*I    | V=cost   per bipoli qualsiasi, non solo per i bipoli composti parallelo di bipoli uguali

bisogna considerare che:

2 bipoli di uguale tensione e corrente, assorbono la stessa potenza elettrica.

Fatta questa generalizzazione, entrambe le leggi sono applicabili allo stesso bipolo-caso; matematicamente le 2 funzioni di 1 variabile e possono essere riunite in 1 funzione di 2 variabili:

P=k*V*I   V,I  variabili

Nel sistema internazionale di misura, la costante di proporzionalita' vale 1, quindi:

P = V*I 

Sottigliezze logiche sottaciute nella traccia di dimostrazione

• Serie: I=costante: costante passando da un bipolo composto a un altro.
  Parallelo: V=costante: costante passando da un bipolo composto a un altro.
  Ci si potrebbe confondere tra "costanza intra" e "costanza inter" bipolo composto.
• Teo: bipoli uguali in serie, siccome hanno la stessa corrente, hanno la stessa tensione.
  Bipoli uguali in parallelo, siccome hanno la stessa tensione, hanno la stessa corrente.
  Sotto la condizione: caratteristica tensione-corrente biunivoca.

• Detto con le formule: nel caso di questa particolare famiglia di bipoli succede che:

  • P=k*V  caso serie. Potenza direttamente proporzionale alla tensione.
  • P=k*I  caso parallelo. Potenza direttamente proporzionale a corrente.

  Da queste 2 formule non si puo' dedurre P=k*V*I, perche' non si riferiscono alla stessa famiglia di oggetti.

• 2 bipoli di uguale tensione e corrente, assorbono la stessa potenza elettrica

  qualunque sia il bipolo: lampada a incandescenza o motore elettrico, fotodiodo o accumulatore, bipolo elementare o bipolo composto.

  Questo dato sperimentale puo' risultare stupefacente, cerchiamone una spiegazione:

  • E' coerente con l'assunzione che le 2 grandezze tensione e corrente sono necessarie e sufficienti alla spiegazione di tutti gli aspetti elettrici.
  • La giustificazione piu' sensata di questo comportamento, e' quella microscopica, della tensione come energia all'unita' di carica: tutti i bipoli, qualunque siano, sono microscopicamente, a livello di carica elettrica, identici: la carica elettrica, la forza elettrica, e' la stessa per tutti.

Dimostrazione basata sui bipoli composti serie e parallelo; dettaglio.

Ci sono 2 possibilita':

• considerare un bipolo variabile di I costante
• o tanti bipoli di uguale I

	consideriamo una serie di bipoli uguali (vedi sx) consideriamo il bipolo variabile composto progressivamente da un un numero crescente di bipoli (vedi dx), si ha che:  la potenza e la tensione vengono moltiplicate per il numero di bipoli quindi sono proporzionali al numero di bipoli,  e quindi potenza e tensione sono tra loro proporzionali.
	consideriamo un parallelo di bipoli uguali consideriamo il bipolo variabile composto progressivamente da un un numero crescente di bipoli, si ha che:  la potenza e la corrente vengono moltiplicate per il numero di bipoli quindi sono proporzionali al numero di bipoli,  e quindi potenza e corrente sono tra loro proporzionali.

Si possono combinare queste variabilita': vedi a sx un caso e sotto altri. Supponiamo tutti i bipoli elementari uguali; se il bipolo composto viene alimentato, tutti hanno tensione, corrente e potenza uguali.  Per ragionare nel modo piu' semplice scegliamo come unita' di misura comoda la tensione, corrente e potenza di 1 bipolo. Consideriamo un bipolo composto qualsiasi: NS= numero di bipoli in serie, NP in parallelo V=NS, I=NP, P=NS*NP, da cui P=V*I

Con questo dato, la proporzionalita' non e' piu' limitata a una particolare famiglia di bipoli, ma si puo' riferire direttamente alle grandezze elettriche tensione e corrente, prescindendo dalla natura del bipolo.

I bipoli progressivi vengono ridefiniti in termini di tensione e corrente (="comportamento ai morsetti"), quelli

• in serie sono caratterizzati da avere uguale corrente
• in parallelo sono caratterizzati da avere uguale tensione

P=k*V    | I=cost

La potenza elettrica assorbita da un bipolo e' direttamente proporzionale alla tensione del bipolo, sotto la condizione che contemporaneamente la corrente sia costante.

La potenza elettrica assorbita da un bipolo e' direttamente proporzionale alla corrente del bipolo, sotto la condizione che contemporaneamente la tensione sia costante.

Le 2 funzioni di una variabile, come sopra, si possono sintetizzare in 1 funzione di 2 variabili.

P=k*V*I   V, I variabili

Bipoli elettrici equivalenti

2 bipoli che abbiano uguale tensione e corrente:

• hanno la stessa resistenza

• assorbono la stessa potenza

• sono equivalenti per quella particolare coppia di tensione e corrente.

Alter

Dimostrazione basata sui bipoli composti serie e parallelo; traccia.

V I P = tensione, corrente, potenza del bipolo composto V1 I1 P1 = tensione, corrente, potenza, che sono uguali in tutti i bipoli elementari. Consideriamo la "Famiglia dei bipoli serie di uguale I", con bipoli componenti tutti uguali (uguali all'interno della serie e tra serie e serie). V=N*V1 P=N*P1, da cui: P=k*V | I=k. Potenza direttamente proporzionale alla tensione, sotto la condizione I=k. Variando il valore di I, si possono ottenere col bipolo composto tutte le combinazioni (V;I). Questo risultato, ricavato in un caso particolare, ha validita' generale, se si tiene presente che: 2 bipoli di uguale tensione e corrente, assorbono la stessa potenza elettrica si puo' fare un bipolo composto di tale tensione e corrente   In totale: P=k*V*I   V, I variabili Nel sistema internazionale di misura, la costante di proporzionalita' vale 1, quindi: P = V*I      watt = volt*ampere

Alter

V I P = tensione, corrente, potenza del bipolo composto

V1 I1 P1 = tensione, corrente, potenza del bipolo singolo

			P=N*P1 V=N*V1 da cui  P=k*V   | I=cost potenza direttamente proporzionale alla tensione, a parita' di corrente
			P=N*P1 I=N*I1 da cui  P=k*I   | V=cost potenza direttamente proporzionale alla corrente, a parita' di tensione

P=k*V*I   V, I variabili

P=k*V    | I=cost

P=k*I    | V=cost

Le 2 funzioni di variabile, che valgono quando una delle variabili I o V e' costante, possono essere sintetizzata in una unica funzione di 2 variabili.

Confronto tra 2 funzioni di 1 variabile e 1 di 2 variabili:

- 4 e' equivalente a 2e3 prese assieme
- in 2e3, 1 delle 2 variabili I o V e' vincolata fissa, mentre in 4, possono variare tutte.

Prerequisiti: Pile e lampadine in serie >>>

Alter

I bipoli serie e parallelo permettono di ricavare la formula della potenza elettrica assorbita dal bipolo

P=k*V    | I=cost La potenza elettrica assorbita da un bipolo e' direttamente proporzionale alla tensione del bipolo, sotto la condizione che contemporaneamente la corrente sia costante. Per dimostrare cio': consideriamo una serie di bipoli uguali consideriamo il bipolo composto progressivamente da un un numero crescente di bipoli, si ha che:  la potenza e la tensione vengono moltiplicate per il numero di bipoli quindi sono proporzionali al numero di bipoli,  e quindi sono tra loro proporzionali.

P=k*I    | V=cost La potenza elettrica assorbita da un bipolo e' direttamente proporzionale alla corrente del bipolo, sotto la condizione che contemporaneamente la tensione sia costante. Per dimostrare cio':  consideriamo un parallelo di bipoli uguali consideriamo il bipolo composto progressivamente da un un numero crescente di bipoli, si ha che:  la potenza e la corrente vengono moltiplicate per il numero di bipoli quindi sono proporzionali al numero di bipoli,  e quindi sono tra loro proporzionali.

1- G variabile, U  fisso.

Il dato sperimentale della lampadina:

Se aumenta il voltaggio, allora contemporaneamente aumenta intensita' di corrente e potenza elettrica assorbita.

In altre parole: v i p risultano variabili concordi.

Ci sono casi, ad es. il diodo a vuoto, in cui la corrente rimane costante all'aumentare del voltaggio. Ugualmente la potenza elettrica assorbita aumenta.

ref: Separazione delle variabili.

2- G e U variano, secondo questa regola:
N generatori uguali in serie concorde ed un ugual numero di utilizzatori uguali in serie

Dato sperimentale: comportamento lamp uguale, nei circuiti con ugual numero di pile e lamp

Guardiamo le grandezze dell'utilizzatore complessivo U nei vari circuiti:

Confrontando 2 circuiti qualsiasi, o tutti rispetto a quello (1G;1L), risulta che contemporaneamente:

voltaggio .............................. aumenta
intensita' corrente .................... uguale
potenza elettrica assorbita ............ aumenta

Quanto detto finora, a partire dal punto 2, vale qualunque siano il generatore e l'utilizzatore iniziali.
Conclu: in questo caso2 P e V risultano variabili concordi, ed "I" indipendente da P e V.

Vecchia versione

2- G e U variano, secondo questa regola:
N generatori uguali in serie concorde ed un ugual numero di utilizzatori uguali in serie

+--G--G--G--+  G=3GSC generat = 3 generat uguali in serie concorde
|           |  circuito detto in simboli: (3G;3L)
+--L--L--L--+  U=3LS utilizzatore = 3 lampade uguali in serie

Dato: il comportamento di ogni singola lamp nel circuito (NG;NL) e' invariato-uguale a quello (1G;1L).

Guardiamo le grandezze dell'utilizzatore complessivo U nei vari circuiti:

                  (1G;1L)  (3G;3L)  (NG;NL)
Voltaggio  di U =     1uV      3uV      NuV
Amperaggio di U =     1uA      1uA      1uA
Potenza    di U =     1uP      3uP      NuP

Confrontando 2 circuiti qualsiasi, o tutti rispetto a quello (1G;1L), risulta che contemporaneamente:

voltaggio .............................. aumenta
intensita' corrente .................... uguale
potenza elettrica assorbita ............ aumenta

Quanto detto finora, a partire dal punto 2, vale qualunque siano il generatore e l'utilizzatore iniziali.
Conclu: in questo caso2 P e V risultano variabili concordi, ed "I" indipendente da P e V.

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3- Teniamo fisso G, variamo U, secondo questa regola:
u fatto di utilizzatori uguali in parallelo

+----+----+----+
|    |    |    |
G    L    L    L
|    |    |    |
+----+----+----+

U=3LP utilizzatore globale = 3 Lampade uguali in Parallelo
dato: il comportamento di ogni singola lamp nel circuito (NG;NL) e' invariato-uguale a quello (1G;1L).
Se questo non succede poiche' il generatore "non ce la fa" e la luminosita' diminuisce, usiamo un generatore variabile, in modo da tenere la luminosita' costante.

Guardiamo le grandezze dell'utilizzatore complessivo U nei vari circuiti:

                       1L      3LP      NLP
Voltaggio  di U =     1uV      1uV      1uV
Amperaggio di U =     1uA      3uA      NuA
Potenza    di U =     1uP      3uP      NuP

Confrontando 2 circuiti qualsiasi, o tutti rispetto a quello 1L, risulta:
voltaggio .............................. uguale
intensita' corrente .................... aumenta
potenza elettrica assorbita ............ aumenta

Quanto detto finora, a partire dal punto 3, vale qualunque siano il generatore e l'utilizzatore iniziali.
Conclu: in questo caso P e I risultano variabili concordi, e "V" indipendente da P e I.