^^Applicazione bilineare, multilineare.

"multilineare" si applica a piu' strutture: spazi vettoriali, gruppi, ...

f:GxH-->K  bi-homomorphism

G H K  gruppi

f(g,h) is a homomorphism in h for each fixed g and in g for each fixed h.

Applicazione bilineare (tra spvt)

nm: applicazione bilineare

1. su 2 spazi vettoriali
2. sul prodotto cartesiano di 2 spazi vettoriali
3. sul prodotto cartesiano di 2 spazi vettoriali sullo stesso campo
4. sul prodotto cartesiano di 2 spazi vettoriali sullo stesso campo, a valori in uno spazio vettoriale sullo stesso campo

X Y Z  spvt sullo stesso campo

1. B:X×Y→Z    è lineare in ogni argomento
   1. B(u+v, w) = B(u, w) + B(v, w)   e   B(λu, v) = λB(u, v)
   2. B(u, v+w) = B(u, v) + B(u, w)    e   B(u, λv) = λB(u, v)
2. Le funzioni sezione dell'applicazione bilineare sono funzioni lineari.

Applicazione multilineare (tra spvt)

multilineare M: X₁×X₂×...×X_n→Y    è lineare in ogni argomento

Lineare in un argomento := e' lineare in una variabile, fissate costanti tutte le altre, e per ogni scelta dei valori costanti.

Conseguenze immediate sulle espressioni

1. B(au,bv) = abB(u,v)
2. M(a₁u₁, a₂u₂, ..., a_nu_n) =  a₁a₂...a_nM(u₁, u₂, ..., u_n)
3. M(tx) = tⁿM(x)   funzione omogenea di grado n
4. B(u+v, w+x) = B(u, w) + B(u, v) + B(v, w) + B(v, x)
5. B(au+bv, w) = aB(u, w) + bB(v, w)
6. B(au+bv, cw+dx) = acB(u, w) + adB(u, v) + bcB(v, w) + bdB(v, x)
7. B(∑a_ix_i , ∑b_iy_i) = ∑_ij a_ib_jB(x_i,y_j)
   e' una comb lin delle img di tutte le coppie dei vt.
8. M( , , 0, , , ) = 0  se un argomento è 0, img 0

Multilineare non è lineare  B: W=U×V → Y

w₁ = (u₁,v1)   w₂ = (u₂,v₂)   w1+w2 = (u1+u2,v1+v2)

B(u1+u2,v1+v2) =  B(u1,v1) + B(u1,v2) + B(u2,v1) + B(u2,v2)

per essere lineare dovrebbe essere  B(u1,v2) + B(u2,v1) = 0.

Importante caso  B:V×V→V applicazione bilineare in uno spazio vettoriale. Algebra su un campo.

nm: notazione prodotto per l'applicazione bilineare  B(x,y) ≡ xy

Lìapplicazione bilineare puo' essere guardata come un prodotto, ed unsare la notazione usuale per i numeri

1. (u+v)w = uw + vw                     e   (λu)v = λ(uv)
2. u(v+w) = uv + uw                      e   u(λv) = λ(uv)

λuv  :=  (λu)v = λ(uv) = u(λv)

Non e' pero' in generale un prodotto associativo o commutativo.

Def

Forma bilineare >>>

Date le definizioni, passiamo allo studio.

App lineari e multilineari sono legate tra loro.

Possiamo prendere spunto dallo studio delle app lineari.

Teo: Le app lin sono determinate dai valori assunti sui vettori di una base del dominio.

D: Esiste un analogo mlin?

Teo: app mlin e' determinata dai valori che assume

Com'e' fatta un'applicazione multilineare ?

same answer for groups and vector spaces.

Il caso piu' semplice e' quando ... 

• gli spazi fattori del dominio sono tutti 1D
• x_i = a_iu_i    un qualsiasi vt di uno spazio e' proporzionale al vettore base di quello spazio

M: X₁×X₂×...×X_n→Y   

M(a₁u₁, a₂u₂, ..., a_nu_n) =  a₁a₂...a_nM(u₁, u₂, ..., u_n)

Teo: app multilin e' determinata da ...

f:VxW-->X  bilinear map

f(∑a_iv_i , ∑b_iw_i) = ∑_ij a_ib_jf(v_i,w_j)

se  v_i e w_j  vettori base di V e W, allora i valori f(v_i,w_j) permettono di calcolare tutti i valori della funzione.

I valori di app mlin sono calcolabili dai valori che assume sui vettori prodotto cartesiano dei vt di base di ognuno degli spazi fattore del dominio.

Pero' ... a differenza del caso lineare ...  la funzione bilineare e' calcolabile

• da famiglie (v_i,w_l) dal tipo precedente "prodotto cartesiano di basi",
• ma anche da altre.

es:

Sorge quindi il problema:

When is f completely determined by the values of the f(v_i,w_i)?

V, W and X be finite-dimensional vector spaces,
f:VxW-->X be a bilinear map

{(v_i,w_i):i=1,2,...,n} be a collection of pairs of vectors in VxW.

Com'e' fatta app mlin  R²xR²→R ?

e' il caso piu' semplice dopo quello piu' semplice.

Links inet

1. Multilinear_algebra

   In mathematics, multilinear algebra extends the methods of linear algebra. Just as linear algebra is built on the concept of a vector and develops the theory of vector spaces, multilinear algebra builds on the concepts of p-vectors and multivectors with Grassmann (=exterior) algebra.

2. Determinant#Abstract_formulation
3. Bilinear_form < Bilinear_map < Multilinear_map
                        < Multilinear_form

   < Multilinear_algebra

Talk

Algebra multilineare

espo alter

applicazione bilineare in uno spazio vettoriale

B:V×V→V    è lineare in ogni argomento

1. B(u+v, w) = B(u, w) + B(v, w)   e   B(λu, v) = λB(u, v)

   (u+v)w = uw + vw                     e   (λu)v = λ(uv)  ≡ λuv

2. B(u, v+w) = B(u, v) + B(u, w)    e   B(u, λv) = λB(u, v)

   u(v+w) = uv + uw                      e   u(λv) = λ(uv)