^^Spirale di Theodorus. Spirale delle radici quadre dei numeri interi.

Approfond

Ci si potrebbe chiedere:

0) si usa come regolo calcolatore analogico di radici di interi?

1) l'insieme degli angoli formati dai segmenti ipotenusa con una direzione prefissata (ad es. quella del primo segmento unitario orizzontale) l'angolo associato all'intero n > 1 è allora

Sum_{k=1}^{n-1} arctan(1/sqrt(k)), è denso (mod 2Pi) in [0, 2Pi]?

2) esiste un intero n per cui il corrispondente segmento ipotenusa si sovrappone a un altro segmento ipotenusa associato a un intero m < n (cioè gli angoli associati sono uguali mod 2Pi)?

Occa risponde

0) non avevo pensato a un regolo per radici quadre; dividendo in 10 parti il cateto unitario si potrebbe approssimare le radici dei numeri con 1 decimale!

Certo che non avendo un algoritmo di calcolo sarebbe una buona idea.

Cmq e' il loro calcolo geometrico ! Usabilita' o meno.

1) sì, e' denso. Spiego perche'.

Per pensare-parlare il mio ambiente mentale e':

agli angoli corrispondono

• gli archi sulla circonferenza unitaria centrata sul centro della spirale
• i raggi-ipotenusa che la intersecano, e i punti intersezione
• per me un angolo corrisponde ad uno di questi punti

mi esprimo anche con essi.

φn e' l'angolo dell' n-esimo triangolo (o segmento di spirale)

1. n→∞ ⇒  φn→0  successione decrescente

   preso un angolo ε, tutti i successivi sono <ε

2. ⇒ le sfere-dischi di raggio ε centrati sui punti di 1 giro di spirale (al crescere di n) sono una copertura della circonferenza
3. siccome cio' vale  ∀ε>0,  ⇒ questa famiglia complessiva di punti e' densa sulla circonferenza.

2) wp/Overlapping

In 1958, Erich Teuffel proved that no two hypotenuses will ever coincide, regardless of how far the spiral is continued. Also, if the sides of unit length are extended into a line, they will never pass through any of the other vertices of the total figure.

Devo pero' dire che ad occhio si sovrappongono benissimo