^^3 circonferenze mutuamente tangenti, centrate sui vertici di un triangolo.

p: Dato un triangolo, disegnare 3 cerchi mutuamente tangenti, centrati sui vertici

Equivale dire:

  1. dati 3 punti, disegnare 3 cerchi mutuamente tangenti, prendendo gli assegnati punti come centri dei cerchi
  2. dati 3 punti-centro di cerchio, disegnare 3 cerchi mutuamente tangenti
  3. disegnare 3 cerchi mutuamente tangenti, assegnati i centri.

Termini

       
Lati a b c
Vertice opposto A B C
Cerchio sul vertice omonimo A B C

Conviene chiamare il cerchio centrato in A, con lo stesso nome del centro, e RA DA il suo raggio e diametro.

Generalizzare i problemi

Caso punti allineati, o un polisegmento aperto.

Cerchi tangenti pitagorici >>>

Calcolo geometrico

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Diario

Il calc geometrico non sono riuscito.

Aggiunta qualche mese dopo:

ho intravisto che era possibile in un esempio di GeoGebra, e cio' mi ha stimolato a ripensarci, e ci sono riuscito. E' il cerchio inscritto, che nei punti di tangenza ai lati, divide i lati nel modo opportuno. Didatticamente e' da far notare quando si fa il cerchio inscritto.

 

Calc algebrico. In astratto Dato la somma delle coppie di 2 numeri.

La prima idea e' stata: (esposizione della ricerca a ruota libera)

  1. La somma dei diametri è uguale al perimetro.
  2. La somma dei raggi e' uguale al semiperimetro.
  3. Il raggio aumenta all'aumentare dei lati afferenti
  4. L'intuizione e' che la parte di perimetro all'interno di un cerchio e' uguale a metà della somma dei lati afferenti.
    La parte di perimetro all'interno di un cerchio e' uguale a 2R.

DA= (b+c)/2

DB= (a+c)/2

DC= (a+b)/2

 

(b+c)/2 + (a+c)/2 + (a+b)/2 = a+b+c

e questo e' buono, solo che dovrebbe essere:

aB la parte del lato a verso l'estremo B = RB

aC la parte del lato a verso l'estremo C = RC

a=aB+aC =(a+c)/4 + (a+b)/4 = a/2 + (b+c)/4     impossibile !

bisogna cambiare la formula, mantenendo il fatto-vincolo che la somma dei diametri sia il perimetro, ma facendo in modo che la somma dei raggi diversi sia i lati.

  1° tentativo

errato

 2° tentativo

esatto
DA= (b+c)/2 b+c-a
DB= (a+c)/2 a+c-b
DC= (a+b)/2 a+b-c
RA= (b+c)/4 (b+c-a)/2
RB= (a+c)/4 (a+c-b)/2
RC= (a+b)/4 (a+b-c)/2

Calcoli di controllo
∑omma
perimetro

=a+b+c  ?

 si si
RB+RC = a  ? a/2 + (b+c)/4

no

 si
RC+RA = b  ? b/2 + (c+a)/4

no

 si
RA+RB = c  ? c/2 + (a+b)/4

no

 si

Per confrontare con tentativo precedente:

1°: a=aB+aC =(a+c)/4 + (a+b)/4 = a/2 + (b+c)/4     impossibile !

2°: a=aB+aC =(a+c-b)/2 + (a+b-c)/2 = a/2 + a/2 +((c-b)+(b-c))/2  esatto !

Studio dei casi estremi

Lo studio dei casi estremi suggerisce che la 1a idea e' errata.

Caso estremo: triangolo isoscele con base piccola rispetto ai lati: i 2 cerchi che intersecano il lato base sono piccoli, quello centrato sul vertice grande. Estremizzando il raggio del cerchio grande coincide col lato lungo, non con la meta'.

 

Il numero 3 e' particolare perche' le combinazioni di 3 elementi sono 3.

3 5 7

a b a+b
3 5 3+5=8
3 7 3+7=10
5 7 5+7=12

 

Il sistema di equazioni scritto in astratto

RA+RB = c

RA+RC = b

RB+RC = a

Terminologia

Mi sono sovvenute diverse

RA A x
RB B y
RC C z

Links

Dato la somma delle coppie di 2 numeri.