Ho cercato di es-primere le proprieta' sempre in piu' rpr: rpr letterale, rpr
grafica, rpr verbale. La corrispondenza tra queste rpr e' di solito stretta,
alcune volte un po' piu' libera.
Qualche difficolta' puo' sorgere inizialmente nella interpretaz d rpr grafiche,
poiche' mi sono dovuto ingegnare con un text editor, senza graphic editor.
na (def) a+a+a+...+a n volte
po a ap X a < 2a < 3a < ... < na
))))))*))))))*))))*)))))))))*)))*))))))))*))))))))))) a 2a 3a 4a 5a 6a ...
L'addizione ripetuta di un elemento genera una successione crescente.
Q proprieta' e cio' che mi permette di disegnare esprimento allineamento, fila,
altrimenti la dis-posizione/tribuzione dei multipli sarebbe potuta essere
diversa.
I multipli vanno disegnati equispaziati s/n? Tenuto presente che una rpr e'
sempre interpretata rispetto a un codice, possiamo considerare:
equi: i componenti sono minori della composizione
po a,b ap X a,b < a+b
rpr grafica nel caso l'ambiente sia uno spazio ordinato reticolare/lineare
a+b ordine reticolare / \ a b
))))))*)))))))))))*)))))))))*))))))))))))) ordine lineare a b a+b
po a,b,c,...,u ap X a,b,c,...,u < a+b+...+u
po a,b,c ap X a < b => a+c < b+c add dx c+a < c+b add sx
Viene esplicitato: addizione sia sinistra che destra, poiche' in generale si
considera che l'opbin puo' non essere commutativa.
Nel caso opbin commutativa le 2 affermaz si equivalgono.
L'affermazione si puo' interpretare in piu' modi, secondoche si pensi ottenuti
l'espressione finale
parto da sommo 1: a < b c = c addiz d u elemento conserva l'ordine 2: c = c a < b addiz d maggior e' maggior d addiz d minor
rpr grafic b b+c c+b \ \ \ a a+c c+a
b+c nel caso valga anche la proprieta' 1 sappiamo anche / \ dove e' posizionata la composiz rispetto ai componendi b a+c \ / \ a c
po a,b,c,...,u,x ap X a<b<c<...<u => a+x < b+x < c+x < ... < u+x 2b- po a,b,c ap X, a,b confrontabili; a < b <=> a+c < b+c
po a,b,c,d ap X a<b e c<d => a+c < b+d
b+d / \ c+d a+d b+c a+b nel caso valga anche 1 \ / \ / \ / d a+c b \ / \ / c a
))))))))*)))))))))*))))))*))))*))))))*))))))*))))))) a b c d a+c b+d
po a,b,c,...,u,a1,b1,c1,...,u1 ap X a<b<c<...<u e a1<b1<c1<...<u1 => a+a1 < b+b1 < c+c1 < ... < u+u1
A occhio alcune proprieta' sembrano di portata piu' generale di altre
es: 1a piu' generale di 1; 1 piu' particolare di 1a 2a 2 2 2a 3 2 2 3
Vogliamo mostrare che una opportuna applicazione del caso che sembra piu' ristretto, puo' portare alla dimostrazione del caso piu' generale.
dim: si tratta di applicare 1 nel caso b=a: in generale 1 dice: a,b < a+b; nel caso b=a, diventa: a,a < a+a, cioe' a < 2a Si tratta poi di ripetere: 2a,a < 2a+a = 3a.
dim: Spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 2 => 2b e 2 <= 2b.
2b => 2. E' banale, poiche' 2 e' una parte di 2b. 2 => 2b. La parte da dimostrare e': a+c < b+c => a < b.
I casi possibili per a,b nella relaz "<" sono 4: a<b, a=b, b<a, non confrontabili. Il caso "non confrontabili" e' escluso per ipotesi. La dimostraz viene condotta per assurdo.
Se a=b => a+c = b+c assurdo poiche' contraddice le ipotesi; se b<a => b+c<a+c assurdo poiche' contraddice le ipotesi.
dim: ipotesi3: po a,b,c,d ap X, con a<b e c<d. Applicando 2 su parti d ipotesi3 si ottiene: a<b => (1) a+c < b+c a<b => (2) a+d < b+d c<d => (3) a+c < a+d c<d => (4) b+c < b+d
per la transitivita' dell'ordine, sia (1)e(4) che (2)e(3) forniscono la conclusione voluta.
La visione complessiva dell'ordine di tutti i personaggi sulla scena, tenendo conto d
- ipotesi: a<b, c<d - conseguenze d proprieta' 2, presumendo che valga anche a+b>a,b
b+d / \ a+b b+c a+d c+d \/ \ / \/ b a+c d \ / \ / a c
dim: Spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 1a => 1 e 1a <= 1.
1a => 1. E' banale poiche' affermaz 1 e' una parte d affermaz 1a. 1 => 1a. Dimostriamolo nel caso n=3, cioe' dimostrare che: po a,b,c ap X a,b,c < a+b+c l'idea dimostrativa e': ricordiamoci che a+b+c = (a+b)+c (a+b) si puo' guardare in 2 modi : - come un unico elemento - come composto di 2 elementi
guardato come unico elemento, gli elementi del 2o membro sono 2: (a+b) e c;
per ipotesi1: (a+b),c < (a+b)+c, cioe' (1) (a+b)<(a+b)+c e (2) c < (a+b)+c; (3) per ipotesi1: a,b < a+b; (4)per la transitivita' dell'ordine: (1) e (3) => a,b < (a+b)+c; (2) e (4) costituiscono la tesi voluta.
Nel caso di n>3 bisogna ricorrere a una dimostrazione per induzione: supporre vero per un fissato, ma generico n, e dimostrarla vera per il numero successivo n+1.
Lo schema dimostrativo e' analogo al caso n=3.
dim: spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 2 => 3 e 2 <= 3.
2 <= 3. E' banale, poiche' l'affermaz 2 e' l'affermaz 3 ridotta al caso d=c.
30/12/92