^^Integrazione tra scomposizione e ordine.

CONDIZ d INTEGRAZ tra: SEMIGRUPPO e ORDINE.

Ho cercato di es-primere le proprieta' sempre in piu' rpr: rpr letterale, rpr grafica, rpr verbale. La corrispondenza tra queste rpr e' di solito stretta, alcune volte un po' piu' libera.
Qualche difficolta' puo' sorgere inizialmente nella interpretaz d rpr grafiche, poiche' mi sono dovuto ingegnare con un text editor, senza graphic editor.

0- I MULTIPLI DI UN ELEMENTO SONO UNA SUCCESSIONE CRESCENTE

na (def) a+a+a+...+a  n volte
  po a ap X   a < 2a < 3a < ... < na
  ))))))*))))))*))))*)))))))))*)))*))))))))*)))))))))))
        a      2a   3a        4a  5a       6a    ...

L'addizione ripetuta di un elemento genera una successione crescente.
Q proprieta' e cio' che mi permette di disegnare esprimento allineamento, fila, altrimenti la dis-posizione/tribuzione dei multipli sarebbe potuta essere diversa.
I multipli vanno disegnati equispaziati s/n? Tenuto presente che una rpr e' sempre interpretata rispetto a un codice, possiamo considerare:

1- LA COMPOSIZIONE E' MAGGIORE DEI COMPONENTI

equi: i componenti sono minori della composizione
   po a,b ap X   a,b < a+b

rpr grafica nel caso l'ambiente sia uno spazio ordinato reticolare/lineare

        a+b                                   ordine reticolare
        / \
       a   b
))))))*)))))))))))*)))))))))*)))))))))))))    ordine lineare
      a           b         a+b

1a-  caso di piu' addendi:

po a,b,c,...,u ap X      a,b,c,...,u < a+b+...+u

2-  ADDIZIONE DI UN ELEMENTO CONSERVA L'ORDINE

    po a,b,c ap X    a < b  =>  a+c < b+c  add dx
                                c+a < c+b  add sx

Viene esplicitato: addizione sia sinistra che destra, poiche' in generale si considera che l'opbin puo' non essere commutativa.
Nel caso opbin commutativa le 2 affermaz si equivalgono.
L'affermazione si puo' interpretare in piu' modi, secondoche si pensi ottenuti l'espressione finale

    parto da   sommo 
1:  a < b      c = c   addiz d u elemento conserva l'ordine
2:  c = c      a < b   addiz d maggior e' maggior d addiz d minor
rpr grafic
  b  b+c  c+b
   \  \    \
    a  a+c  c+a
   b+c    nel caso valga anche la proprieta' 1 sappiamo anche
   / \    dove e' posizionata la composiz rispetto ai componendi
  b  a+c
   \ / \
    a   c

2a- caso con piu' elementi

    po a,b,c,...,u,x ap X  
    a<b<c<...<u  =>  a+x < b+x < c+x < ... < u+x
2b- po a,b,c ap X, a,b confrontabili;  a < b  <=> a+c < b+c

3- SOMMA MEMBRO A MEMBRO DI DIS/UGUAGLIANZE

   po a,b,c,d ap X  a<b e c<d  => a+c < b+d
       b+d
       / \
 c+d a+d b+c a+b    nel caso valga anche 1
   \ / \ / \ /
    d  a+c  b 
     \ / \ /
      c   a
))))))))*)))))))))*))))))*))))*))))))*))))))*))))))) 
        a         b      c    d     a+c    b+d
                 

3a- caso con piu' elementi

    po a,b,c,...,u,a1,b1,c1,...,u1 ap X
    a<b<c<...<u  e  a1<b1<c1<...<u1
    =>  a+a1 < b+b1 < c+c1 < ... < u+u1

Commento pre-fazione ai teoremi.

A occhio alcune proprieta' sembrano di portata piu' generale di altre

es: 1a  piu' generale di  1; 1 piu' particolare di 1a
    2a                    2  2                     2a
    3                     2  2                     3

Vogliamo mostrare che una opportuna applicazione del caso che sembra piu' ristretto, puo' portare alla dimostrazione del caso piu' generale.

teo: 1 => 0

dim: si tratta di applicare 1 nel caso b=a:
in generale 1 dice: a,b < a+b; nel caso b=a, diventa:
                    a,a < a+a, cioe' a < 2a
Si tratta poi di ripetere: 2a,a < 2a+a = 3a.

teo: 2 <=> 2b.

dim: Spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 2 => 2b  e 2 <= 2b.

2b => 2. E' banale, poiche' 2 e' una parte di 2b.
2 => 2b. La parte da dimostrare e': a+c < b+c => a < b.

I casi possibili per a,b nella relaz "<" sono 4: a<b, a=b, b<a, non confrontabili. Il caso "non confrontabili" e' escluso per ipotesi. La dimostraz viene condotta per assurdo.

Se a=b => a+c = b+c assurdo poiche' contraddice le ipotesi;
se b<a => b+c<a+c   assurdo poiche' contraddice le ipotesi.

teo: 2 => 3

dim: ipotesi3:  po a,b,c,d ap X, con  a<b e c<d.
Applicando 2 su parti d ipotesi3 si ottiene:  
 a<b => (1) a+c < b+c
 a<b => (2) a+d < b+d
 c<d => (3) a+c < a+d
 c<d => (4) b+c < b+d

per la transitivita' dell'ordine, sia (1)e(4) che (2)e(3) forniscono la conclusione voluta.
La visione complessiva dell'ordine di tutti i personaggi sulla scena, tenendo conto d

- ipotesi:  a<b, c<d
- conseguenze d proprieta' 2, presumendo che valga anche a+b>a,b
 
                        b+d
                       /   \
                a+b  b+c   a+d  c+d
                   \/   \ /   \/
                    b   a+c   d 
                     \ /   \ / 
                      a     c

teo: 1 equivale 1a, in simboli: 1 <=> 1a

dim: Spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 1a => 1  e 1a <= 1.

1a => 1. E' banale poiche' affermaz 1 e' una parte d affermaz 1a.
1 => 1a. Dimostriamolo nel caso n=3, cioe' dimostrare che:
         po a,b,c ap X   a,b,c < a+b+c
l'idea dimostrativa e': ricordiamoci che a+b+c = (a+b)+c
(a+b) si puo' guardare in 2 modi : 
 - come un unico elemento
 - come composto di 2 elementi

guardato come unico elemento, gli elementi del 2o membro sono 2: (a+b) e c;

per ipotesi1: (a+b),c < (a+b)+c, cioe'
(1) (a+b)<(a+b)+c e (2) c < (a+b)+c;
(3) per ipotesi1:  a,b < a+b;
(4)per la transitivita' dell'ordine: (1) e (3) => a,b < (a+b)+c;
(2) e (4) costituiscono la tesi voluta.

Nel caso di n>3 bisogna ricorrere a una dimostrazione per induzione: supporre vero per un fissato, ma generico n, e dimostrarla vera per il numero successivo n+1.
Lo schema dimostrativo e' analogo al caso n=3.

teo: 2 equivale 3, in simboli  2 <=> 3.

dim: spezziamo questa dimostrazione di equivalenza in 2 parti, le 2 implicazioni reciproche: 2 => 3  e  2 <= 3.

2 <= 3. E' banale, poiche'  l'affermaz 2 e' l'affermaz 3 ridotta al caso d=c. 

Gestione

30/12/92