^^Seno e coseno, funzione dell'angolo definito in radianti.

Def come rapporto, o moltiplicatore

Esplicita

(rapporto)

Implicita

(moltiplicatore)

  L
β =
  R
L= βR
  x
cos(β) =
  R
x= Rcos(β)
 
  y
sen(β) =
  R
y= Rsen(β)
 
  y
tan(β) =
  x
y= x*tan(β)

 

Qui la prospettiva e': seno e coseno come operazione, la' come Funzione.
ref: ix Radianti. Misurare l'angolo in radianti.

Presentazione dei personaggi pari-simmetrica

La presentazione standard e' di mettere in corrispondenza coseno e seno all'angolo, ma se li si vuole mettere su un grado di parità-simmetria:

Ambiente e': un triangolo rettangolo

consideriamo 3 elementi: 2 cateti e 1 angolo

diamo nome proprio ai cateti e : coseno e seno

la relazione tra: cateto-coseno, cateto-seno, e angolo e'

coseno e' adiacente all'angolo

seno e' opposto all'angolo

viceversa

l'angolo e' adiacente al coseno

l'angolo e' opposto al seno

il coseno e' il cateto non seno, e viceversa: il seno e' il cateto non coseno.

Funzioni seno e coseno con l'angolo espresso in radianti

La definizione delle funzioni seno e coseno ufficiali della matematica, quelle che a numero associano numero, dato che agiscono sui numeri, e non sugli angoli-figure, devono rappresentare l'angolo tramite un numero, una sua misura. I numeri-misura sono diversi a seconda del tipo di misura, che quindi deve essere dichiarata. L'angolo e' misurato in radianti, e quindi e' opportuno accostare sempre alla definizione del seno e coseno, quella della misura dell'angolo.

Su alcune calcolatrici e' possibile dire che l'argomento delle funzioni trigonometriche e' in gradi, il nome delle funzioni e' lo stesso, pero' da un punto di vista matematico sono funzioni diverse.

Univocita'

La questione riguarda il fatto che siccome il rapporto x/R e' preso per un qualsiasi punto della semiretta che fa da lato dell'angolo, potenzialmente potrebbe essere diverso uno dall'altro, invece ...

La definizione e' univoca poiche' il rapporto x/R e' indipendente da R. Cio' e assicurato dalla teoria delle proporzioni.

Definizione tramite circonferenza trigonometrica

(cos,sen) sono le coordinate del punto sulla circonferenza trigonometrica.
Identita' trigonometrica fondamentale: cos2 + sen2 = 1

Scritto per esteso per bene (cioe' senza dar adito ad equivoci), sarebbe:  (cos(x))2 + (sen(x))2 = 1 per ogni x.

Questa identita' non riesce ad essere una definizione di seno e coseno. Pero' lo e' di triangolo rettangolo di ipotenusa unitaria.

Terne Pitagoriche di numeri continui: (a;b;c) con a2+b2=c2 

Il nome e' una mia invenzione, sicuramente gia' fatta da altri, sulla falsariga di "terne Pitagoriche".

(a;b;c) con a2+b2=c2 
tale relazione definisce una terna pitagorica di numeri continui.

Qual e' la definizione migliore? circonferenza trigonometrica vs rapporto

Se ne devo scegliere solo 1, io preferisco quella come rapporto, poiche' secondo me lo ambienta meglio. Ritengo questa faccenda dell'ambiente, importante, poiche' le cose vivono in un ambiente e le si comprende tramite il comportamento nell'ambiente. Difficile pensare e capire una pecora al polo.

Definizione di tangente

tan(β) = y/x 
  sen(β)/cos(β) 

voc: tangente trigonometrica, per distinguere da tangente a una curva.

dida:

Si puo' discutere se questa e' la definizione o una formula di calcolo. Certo e' che i testi standard di trigonometria, per non dire i matematici, se la cavano con le definizioni comode logicamente, ma non cognitivamente.

Le funzioni trigonometriche

Seno e coseno si possono concepire come una grandezza associata a un angolo, cosi' come l'area o il perimetro di un rettangolo, oppure si possono organizzare tutti i vari casi in una variabile e l'associazione in una funzione.

Le funzioni trigonometriche cos sen sono le funzioni parametriche della circonferenza.

E' una frase gergale, facile da ricordare, significativa perche' connette l'idea generale di funzioni parametriche alla definizione particolare delle funzioni seno e coseno, ma se presa alla lettera e' imprecisa. Precisiamo.

Le funzioni trigonometriche e le coordinate polari

Sono strettamente legate Conversione dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane.

Links

ix Triangolo rettangolo; teorema di Pitagora; coseno, seno, tangente.

 

 

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Titolo

  1. Coseno e seno.
    Dopo le considerazioni sulla dipendenza dalla definizione dell'angolo, ho preferito aggiungere la definizione del sistema di misura dell'angolo.
  2. Coseno e seno come operazione (contrapposto a "come funzione").
  3. Coseno e seno di un arco.
  4. Coseno e seno di un angolo.
  5. Coseno e seno. Coseno e seno di un angolo.
  6. Coseno e seno (di un angolo-arco).
  7. Definizione di seno coseno angolo.
  8. Seno e coseno, funzione di un angolo definito in radianti.
  9. Seno e coseno, funzione dell'angolo definito in radianti.

Mie riflessioni

Sulla via di "terne Pitagoriche di numeri continui", pensavo di fare a meno dell'angolo, per cui 

invece di  cos(β) = x/R
considerare x2+y2=R2
  cos(x;R) = x/R
  sen(x;R) = y/R

Dida

Meglio separare la presentazione di seno e coseno da quella di tangente, o tutto insieme?

 

Studio immagini   .odg |.pdf

 

 

 

In un altro contesto es >>> ho avuto bisogno di