^^Limite di una successione. Definizione. tb

an → L   

∀ε>0 ∃n0: n>n0 ⇒ |an-L|<ε 

per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica valor assoluto della differenza tra an e L, minore di ε.

an → +∞

∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ an>M		 per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica an maggiore di M

an → -∞

∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ an<-M		 per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica an minore di -M

an → ∞

∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ |an|>M		 per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica |an | maggiore di M

es

  1. <k>→k  una successione costante a k, tende a k
  2. 1/n ↓0;  -1/n ↑0;  2+1/n ↓2;  2+(-1/n) ↑2
  3. (-1)n n≥0   +1  -1  +1  -1  +1  -1  ...  non converge
  4. <n>↑+∞       0  1  2  3  4  5  ...  ↑+∞
  5. <-n>↓-∞       0  -1  -2  -3  -4  -5  ...  ↓-∞
  6. (-1)nn n≥0   0  -1  +2  -3  +4  -5  +6  ...  → ∞

 

 

Approfond

 

an → L   

∀ε>0 ∃n0: n>n0 ⇒ |an-L|<ε		 per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica valor assoluto della differenza tra an e L, minore di ε.

 

an → +∞

∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ an>M		 per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica an maggiore di M

an → -∞

∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ an<-M		 per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica an minore di -M

Definizione topologica

  
∀S(L) ∃n0: n>n0 ⇒ an∈S(L) per ogni intorno di L, esiste un n0 tale che n>n0 implica an∈S(L)
∀S(L) ∃(n,+∞): a(n,+∞) ⊂ S(L) per ogni intorno di L, esiste un intorno di +∞ tale  che a(n,+∞) il range della successione relativo a tale intorno, e' contenuto in S(L)
∀S(L) ∃S(+∞): aS(+∞) ⊂ S(L) per ogni intorno di L, esiste un intorno di +∞ tale  che la sua immagine e' contenuta in S(L)

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an → L   

∀ε>0 ∃n0: n>n0 ⇒ |an-L|<ε per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica il valor assoluto della differenza, minore di ε.

an → +∞

 
∀M>0 ∃n0: n>n0 ⇒ an>M per ogni M maggiore di 0, esiste un n0 tale che n>n0 implica an maggiore di M

Definizione topologica

  
∀S(L) ∃n0: n>n0 ⇒ an∈S(L) per ogni intorno di L, esiste un n0 tale che n>n0 implica an∈S(L)
∀S(L) ∃(n,+∞): a(n,+∞) ⊂ S(L) per ogni intorno di L, esiste un intorno di +∞ tale  che a(n,+∞) il range della successione relativo a tale intorno, e' contenuto in S(L)
∀S(L) ∃S(+∞): aS(+∞) ⊂ S(L) per ogni intorno di L, esiste un intorno di +∞ tale  che la sua immagine e' contenuta in S(L)