^^Area di un poligono, metodo dei trapezi.
Area con segno sottostante ognuno dei lati del poligono
Area poligono = somma algebrica area dei singoli trapezi
| |
1
2 |
n |
|
|
|
| A = |
∑ |
i |
|
(xi+1 - xi)*(yi
+ yi+1) n+1 ≡ 1 |
| |
1 |
|
|
|
(x1,y1) (x2,y2)
... (xn,yn)
|
elenco dei vertici muovendosi lungo il perimetro, partendo da un
vertice a piacere. |
Proprieta'
segno
- cambiando il verso di percorrenza il risultato cambia di segno
- area positiva ⇔ percorso orario
validita'
- vale per tutti i poligoni non intrecciati
- vale per i poligoni dovunque si trovino nel piano, es: con parti in quadranti diversi
Dirlo
l'area del poligono e' uguale alla somma algebrica dell'area dei trapezi,
ognuno sottostante un lato del poligono.
Idea di calcolo:
- l'area sotto un segmento, cioe' tra il segmento e l'asse x, e' un trapezio
retto
- la cui area si puo' calcolare dalle 2 basi e dall'altezza
- basi dalle coordinate y
- altezze dalle coordinate x
E' l'idea di calcolo condivisa da Area del poligono e
Area sottesa ad un poligonale.
Esempi di poligoni per cui e' valido il metodo dei trapezi
poligonale chiusa, che e' bordo del poligono
| = |
|
+ |
poligonale sovrastante
poligonale sottostante
|
Area poligono
| = |
|
- |
area sottesa alla poligonale soprastante
area sottesa alla poligonale sottostante
|
il poligono a sx e' concavo; il poligono a dx ha punti di inversione del moto
sul bordo poligonale oltre quelli dell'estremo sx e dx, che producono ulteriori
sovrapposizioni dei trapezi.
Nome
- surveyor’s formula (for the area of a polygon)
- useful in surveying
Es
Bivettore, area; nel piano cartesiano; metodo
dei trapezi.
Links
- Area di un poligono irregolare.
Approfond
Somma area dei singoli trapezi (area con segno):
| |
1
2 |
n |
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| A = |
∑ |
i |
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(xi+1 - xi)*(yi
+ yi+1) n+1 ≡ 1 |
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1 |
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| |
1
2 |
n |
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| A = - |
∑ |
i |
|
(yi+1 - yi)*(xi
+ xi+1) n+1 ≡ 1 |
| |
1 |
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Talk
Versione1: Idea per il calcolo
| poligonale = |
|
+ |
poligonale sovrastante
poligonale sottostante.
|
e' un modo di guardare-pensare al poligono che e' conveniente.
Versione2: Idea per il calcolo
| poligonale = |
|
+ |
poligonale sovrastante
poligonale sottostante
|
Versione
vale a condizione di poligonali non intrecciate.
Titolo
- Area di un poligono, nel piano cartesiano.
c: originale
- Area di un poligono, metodo delle coordinate.
Area di un poligono,
metodo delle coordinate. Area sottesa ad una poligonale.
c: 2-9-2019. Con la recente messa a pensione, ho avuto la possibiita' di
leggere un po', e ho visto che i geometri del 1800 e 1900 preferivano dire
"metodo delle coordinate" piuttosto che "geometria cartesiana". Per cui
cambio questo titolo, che e' il 1° che cambio, e forse non altri, ma questo
si, per segnare la comprensione del fatto.
- Area di un poligono,
metodo dei trapezi.
c: 13-9-2019. Ho preferito enfatizzare i trapezi.
Versioni espo
area del poligono
| (x1,y1) (x2,y2)
... (xn,yn) |
elenco dei vertici muovendosi lungo il perimetro, partendo da un
vertice a piacere |