^^Geometria algebrica.

La geometria algebrica ha diversi livelli di generalita'.

La geometria algebrica al livello piu' semplice

nel piano euclideo con le coordinate cartesiane

• ad un'equazione nelle 2 coordinate  f(x,y) = 0  e' associato un ente geometrico: l'insieme dei punti le cui coordinate sono soluzione dell'equazione
• un modo equivalente di vedere e'

  gli zeri della funzione z=f(x,y):R2R, cioe' l'insieme delle controimmagini dello zero.

L'insieme dei punti associati alle soluzioni dell'equazione e' detto LUOGO geometrico, per sottolineare col nome che questo ente viene considerato un ente geometrico e non algebrico.

Si stabilisce cosi' una corrispondenza tra funzionali e luoghi geometrici.

La geometria algebrica del piano studia la geometria dei luoghi geometrici (figure del piano) soluzione delle equazioni polinomiali

polinomio(x, y) = 0

es: -5y⁴ +x³ +7y³ +3x -y -2 = 0

Disambiguare

La geometria algebrica  NON E'  Geometric algebra, Algebra geometrica; Calcolo geometrico.

Geometria algebrica sui numeri reali o complessi?

per avere una teoria elegante nella corrispondenza tra i 2 aspetti geometrico e algebrico occorre il campo complesso, piu' in generale un campo algebricamente chiuso.

Quindi la "geometria algebrica" senza altra specificazione si intende svolta con l'algebra di un campo algebricamente chiuso.

Curva algebrica in geometria euclidea wp

implicit equation of the curve  f(x,y) = 0

esplicit equation of the curve   y = f(x)  when is possible to put the equation in such form;

la formula esplicita e' interpretabile anche come legge di corrispondenza di una funzione, e la curva come grafico della funzione.

Risulta che il luogo geometrico definito da un polinomio e' una linea

Risulta

Every algebraic curve may be uniquely decomposed into a finite number of smooth monotone arcs (also called branches) sometimes connected by "remarkable points", and a finite number of isolated points.

Varieta' algebrica wpit

Una varietà algebrica è l'insieme degli zeri di una famiglia di polinomi

Elliptic curves over the real numbers

Elliptic_curve#Elliptic_curves_over_the_real_numbers

in questo contesto una curva ellittica e' una curva piana definita dall'equazione

y² = x³ + ax + b     a,b nr reali

piu' qualche precisazione: trasformazione lineare delle coordnate, e esclusione di casi singolari.

Il Teorema di Mordell (o Mordell-Weil)

è un risultato fondamentale della teoria dei numeri e della geometria algebrica.

l'insieme dei punti razionali su una curva ellittica forma un gruppo abeliano finitamente generato rispetto all'operazione di addizione di punti.

Curva ellittica: Un'equazione del tipo  y² =x³+Ax+B   A e B numeri razionali.

Links wp

1. Geometria_algebrica , Algebraic_geometry
2. Algebraic_curve
3. es: Curva_ellittica

Approfond

Dirlo: Curva algebrica in geometria euclidea

the set of the points whose coordinates are
the solutions of a polynomial equation in 2 variables

prompt: perche' le varieta' algebriche sono definite per i campi algebricamente chiusi e non per i Reali?

Le varietà algebriche sono storicamente e fondamentalmente definite su campi algebricamente chiusi (come i numeri Complessi ℂ) perché garantiscono una corrispondenza semplice tra la geometria (i punti) e l'algebra (i polinomi).

Sui numeri Reali (ℝ), che non sono algebricamente chiusi, questa corrispondenza si "rompe" a causa della mancanza di radici per molti polinomi.

Ecco i motivi tecnici principali e le differenze pratiche:

1. Il Teorema degli Zeri di Hilbert (Nullstellensatz)

È il pilastro della geometria algebrica. Stabilisce che c'è una perfetta bijezione tra i punti di una varietà e gli ideali massimali dell'anello dei polinomi.

• Nei campi chiusi: Il polinomio x^2 + 1 = 0 ha soluzioni (i, -i). L'algebra cattura la geometria.
• Nei Reali: Il polinomio x^2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Geometricamente l'insieme degli zeri è vuoto, ma algebricamente l'ideale generato da x^2 + 1 non è l'intero anello. Questo crea un divario: due ideali diversi possono definire lo stesso identico insieme vuoto.

2. Dimensione e intersezioni costanti (Teorema di Bézout)

Nei campi algebricamente chiusi, la geometria è regolare e prevedibile.

• Esempio geometrico: Due curve di grado d e e si intersecano sempre in esattamente dxe punti (contando la molteplicità e i punti all'infinito).
• Sui Reali: Due parabole possono intersecarsi in 4 punti, 2 punti, 1 punto o nessun punto. Senza la chiusura algebrica si perde la costanza e la simmetria delle proprietà geometriche.

3. La nozione di "Dimensione"

Sui campi chiusi, la dimensione geometrica di una varietà coincide sempre con la dimensione algebrica (il grado di libertà dei suoi polinomi). Sui reali questo fallisce:ù

• Il polinomio x^2 + y^2 = 0 ha come unica soluzione reale il punto (0,0).
• Algebricamente dovrebbe essere una curva (dimensione 1), ma geometricamente sui reali è un singolo punto (dimensione 0).

Come si risolve? (Geometria Algebrica Reale)

Non significa che non si possano studiare i polinomi sui Reali. Per farlo, i matematici usano due approcci:

• Estensione: Si studiano prima le soluzioni nei Complessi ℂ (dove la geometria è "bella" e regolare) e poi si guardano i punti fissi sotto l'azione della coniugazione complessa per trovare le soluzioni reali.
• Geometria Semialgebrica: Si usano non solo le equazioni (=0), ma anche le disequazioni (>0, ≤0) per gestire i confini tipici del mondo reale.