^^Bivettore, area; nel piano cartesiano; metodo trigonometrico.

bvt  B = a∧b   vt1 a , vt2 b

Area bvt := ab*sen(δ)

l'angolo e' inteso come rotazione, orientato, con segno + o -

Orientazione

nel piano e' fissata una base ortonormale orientata e₁ e₂

ang(b, a) = ang(b, e₁) - ang(a, e₁)

δ =-β - α

la differenza angolare tra i vt del bvt e' orientata, fatta rispetto al vt1,

vt1 a = a(cosα, senα) = (a*cosα, a*senα) = (a₁,a₂)

vt2 b = b(cosβ, senβ) = (b*cosβ, b*senβ) = (b₁,b₂)

Area = ab*sen(β-α)

vogliamo applicare la formula del seno della differenza (vedi frml std).

Per ottenere la forma finale usuale conviene avere i termini che si riferiscono a vt1 come primi fattori, cioe' quelli in α. La frml del seno della differenza e'

sen(β-α) =  cosαsenβ - senαcosβ

= ab(cosαsenβ - senαcosβ)

= ab*cosαsenβ - ab*senαcosβ

= a*cosα * b*senβ - a*senα * b*cosβ

= a₁*b₂ - a₂*b₁  

Link

1. Seno della somma, seno della differenza (di 2 angoli).

Approfond

Diario

l'idea mi e' venuta pensando che

l'angolo tra i vettori del bivettore e' sempre quello, anche ruotando il bivettore,

quindi  sempre quello anche il seno dell'angolo, che si puo' calcolare coi ...

seno della differrenza ... sencos ...

mi ricordavo qualcosa tipo sen(α+β) = senβcosα + senαcosβ

me la ricordo cosi' per come mi suona.

il ricordo mi intriga poiche' mi assuona alla formula dell'area  x₁y₂ - x₂y₁

Ma mi serviva la differenza, mi sembra di ricordare un cambiamnto di segnio, ma  documentiamoci.

Talk

sen(α-β) =  senαcosβ - cosαsenβ

vt1 a = a(cosβ, senβ) = (a*cosβ, a*senβ) = (a₁,a₂)

vt2 b = b(cosα, senα) = (b*cosα, b*senα) = (b₁,b₂)

A = ab*sen(α-β) = ab(senαcosβ - cosαsenβ) =

ab*senαcosβ - ab*cosαsenβ =

b*senα * a*cosβ -  b*cosα * a*senβ =

b₂*a₁ - b₁*a₂  = 

a₁*b₂ - a₂*b₁  

Versione    β  assegnato a vt1. 

quindi se prendiamo la formula standard del seno della differenza,

sen(α-β) =  senαcosβ - cosαsenβ  

allora l'angolo di riferimento e'  β  che quindi assegnamo a vt1. 

Per avere la forma finale usuale conviene avere i termini in β come primi fattori

sen(α-β) =  cosβsenα - senβcosα

vt1 a = a(cosβ, senβ) = (a*cosβ, a*senβ) = (a₁,a₂)

vt2 b = b(cosα, senα) = (b*cosα, b*senα) = (b₁,b₂)

Area = ab*sen(α-β) = ab(cosβsenα - senβcosα) =

ab*cosβsenα - ab*cosβsenα =

a*cosβ * b*senα  -  a*senβ * b*cosα =

a₁*b₂ - a₂*b₁