^^Funzioni olomorfe.

 

Funzioni complesse di variabile complessa, derivabili.

 

il passaggio al coniugato e' una funzione derivabile ? e' continua ?

 

 

 

Notazione    z → w = f(z)    z → w     w = f(z)  

 

z = x + iy    w = u + iv

 

z → z2    f(z) = z2   w =  z2   .ggb

 

u + iv  =  (x + iy)2 = x2 + (iy)2 + 2xy = x2 - y2 + i2xy

 

 

f(z) = 1/z .ggb

 

1/z = zc/zzc = (x-iy)/(x2 + y2) = x/(x2 + y2) - iy/(x2 + y2)

 

f(z) = z2 + z  .ggb

 

z2 + z  =  (x2 - y2 + i2xy) + (x + iy)  = (x2 - y2 + x) + i(2xy + y)

 

 

f(z) = z3  =  z2 *z

 

z2 *z = (x2 - y2 + i2xy)(x +iy) = x3 - xy2 + i2x2y + ix2y - iy3 - 2xy2

= x3 - 2xy2 - xy2 + i2x2y + ix2y - iy3

= x3 - 3xy2 + i3x2y - iy3

 

f(z) = 1/z2 =(1/z)2

si sale di grado oltre al 2

( (x-iy)/(x2 + y2) )2  =  (x-iy)2 / (x2 + y2)2 =  (x2 - y2 - i2xy) / (x2 + y2)2

  (x2 - y2) / (x2 + y2)2  + i(-2xy) / (x2 + y2)2

 

f(z) = z + 1/z

 

z + 1/z  =  (x + iy) +  (x/(x2 + y2) - iy/(x2 + y2))

 

= (x + x/(x2 + y2))  + i(y - y/(x2 + y2))

 

 

 

f(z) = z2 + zzc  = z(z + zc)  funzioni col coniugato sommato

 

w =  2x2 + i2xy

 

f(z) = (z2 + zzc)/2 = z(z + zc)/2

 

 

w =  x2 + ixy

 

f(z) = z2 + 2zzc  = z(z + 2zc.ggb

 

w =  3x2 + y2 + i2xy