^^Serie di potenze degli interi a esponente costante.

 

Sommatoria da 1 a n

1 + 2 + 3 + ... + n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
12 + 22 + 32 + ... + n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
13 + 23 + 33 + ... + n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
14 + 24 + 34 + ... + n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
15 + 25 + 35 + ... + n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                           
1e + 2e + 3e + ... + ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1  +  1
2		 ne  + ... 

Proprieta'

  1. la somma e' espressa da un poliniomio in n di grado 1 + dell'esponente
  2. i 2 addendi di grado maggiore hanno una regola semplice

 

es: Sommatoria da 1 a 4

1 + 2 + 3 + 4   ≡   ∑ a   =  
1
2		 42  +  1
2		 4
12 + 22 + 32 + 42   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 43  +  1
2		 42  +  1
6		 4
13 + 23 + 33 + 43 ≡ ∑ a3 =
1
4		 44  +  1
2		 43  +  1
4		 42  +  0·4
14 + 24 + 34 + 44 ≡ ∑ a4 =
1
5		 45  +  1
2		 44  +  1
3		 43  +  0·42  −  1
30		 4
15 + 25 + 35 + 45 ≡ ∑ a5 =
1
6		 46  +  1
2		 45  +  5
12		 44  +  0·43  −  1
12		 42  −  0·4

vo: Serie di interi

be  b base,  e esponente,  be potenza di base b ed esponente e

1  +  b  +  b2  +  ...  +  bn   ≡   n
∑
e=0		   be   =   base costante

esponente variabile
                             
1  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne ≡ n
∑
b=1		   be = interi base variabile

esponente costante

Dirlo

  1. Serie di potenze degli interi a esponente costante.
  2. Serie degli interi elevati a un esponente constante.
  3. Sum of a fixed power of the integers
  4. Sum of integer powers
  5. Sums of Powers of Integers

History

the computation of sums of integer powers, have been of interest to mathematicians since antiquity.

Jakob Bernoulli Summae Potestatum

credits: commons.wikimedia.org

 

Links

  1. Quadrettatura in pixel. Disegnarla. Raccolta.

  2. inet

  3. pietrocola/Sui polinomi per somme di potenze di interi successivi.pdf
  4. pietrocola/Theoremsonthesumofpowersofsuccessiveinteger.pdf
  5. pietrocola/rapida dimostrazione per la somma di potenze di interi successivi.pdf

  6. wp/Faulhaber's_formula

  7. wp/Bernoulli_number
  8. Solving Polynomial Equations Using Linear Algebra.pdf

 

Approfond

Espo:  1  VS   1e  (vedi talk)

1  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne    VS    1e  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne   ≡   ∑ ae

Espo:  staccata  VS  attaccata ( vedi talk)

1e  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne    VS    1e + 2e + 3e + ... + ne

 

 

Talk

Espo:  1  VS   1e

Sommatoria da 1 a n

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   ∑ a
1  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   ∑ a2
1  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ ∑ a3
1  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ ∑ a4
1  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ ∑ a5
                       
1  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne ≡ ∑ ae

Sommatoria da 1 a n

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   ∑ a
12  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   ∑ a2
13  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ ∑ a3
14  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ ∑ a4
15  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ ∑ a5
                       
1e  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne ≡ ∑ ae

Espo:  staccata  VS  attaccata

Sommatoria da 1 a n

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
12  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
13  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
14  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
15  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                           
1e  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1  +  1
2		 ne  + ... 

La serie armonica attaccata sembra piu' leggibile

1 + 2 + 3 + ... + n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
12 + 22 + 32 + ... + n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
13 + 23 + 33 + ... + n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
14 + 24 + 34 + ... + n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
15 + 25 + 35 + ... + n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                           
1e + 2e + 3e + ... + ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1  +  1
2		 ne  + ... 

Le espressioni piu' complesse invece diventano meno leggibili

1 + 2 + 3 + ... + n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2 + 1
2		 n
12 + 22 + 32 + ... + n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3 + 1
2		 n2 + 1
6		 n
13 + 23 + 33 + ... + n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4 + 1
2		 n3 + 1
4		 n2 + 0·n
14 + 24 + 34 + ... + n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5 + 1
2		 n4 + 1
3		 n3 + 0·n2  −  1
30		 n
15 + 25 + 35 + ... + n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6 + 1
2		 n5 + 5
12		 n4 + 0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                           
1e + 2e + 3e + ... + ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1 + 1
2		 ne  + ... 

es: Sommatoria da 1 a 4

1  +  2  +  3  +  4   ≡   ∑ a
12  +  22  +  32  +  42   ≡   ∑ a2
13  +  23  +  33  +  43 ≡ ∑ a3
14  +  24  +  34  +  44 ≡ ∑ a4
15  +  25  +  35  +  45 ≡ ∑ a5

es: Sommatoria da 1 a 4

1 + 2 + 3 + 4   ≡   ∑ a
12 + 22 + 32 + 42   ≡   ∑ a2
13 + 23 + 33 + 43 ≡ ∑ a3
14 + 24 + 34 + 44 ≡ ∑ a4
15 + 25 + 35 + 45 ≡ ∑ a5

 

 

 

Estremi sommatoria in forma standard

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   n
∑
a=1		   a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
                             
1  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   n
∑
a=1		   a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
                             
1  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ n
∑
a=1		   a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
                             
1  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ n
∑
a=1		   a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
                             
1  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ n
∑
a=1		   a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n

Estremi sommatoria in forma non standard: precedono il simbolo, per non confondersi con l'espressione dell'addendo generico

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   n
a=1		 ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
                             
1  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   n
a=1		 ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
                             
1  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ n
a=1		 ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
                             
1  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ n
a=1		 ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
                             
1  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ n
a=1		 ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n

Estremi sommatoria in forma standard: rinunciare

1  +  2  +  3  +  ...  +  n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
                           
1  +  22  +  32  +  ...  +  n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
                           
1  +  23  +  33  +  ...  +  n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
                           
1  +  24  +  34  +  ...  +  n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
                           
1  +  25  +  35  +  ...  +  n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                           
1  +  2e  +  3e  +  ...  +  ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1  +  1
2		 ne  + ...                   

Compattare separazione verticale: senza riga di separazione

1  +2  +3  +...  +n   ≡   ∑ a   =  
1
2		 n2  +  1
2		 n
1  +22  +32  +...  +n2   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 n3  +  1
2		 n2  +  1
6		 n
1  +23  +33  +...  +n3 ≡ ∑ a3 =
1
4		 n4  +  1
2		 n3  +  1
4		 n2  +  0·n
1  +24  +34  +...  +n4 ≡ ∑ a4 =
1
5		 n5  +  1
2		 n4  +  1
3		 n3  +  0·n2  −  1
30		 n
1  +25  +35  +...  +n5 ≡ ∑ a5 =
1
6		 n6  +  1
2		 n5  +  5
12		 n4  +  0·n3  −  1
12		 n2  −  0·n
                   
1  +2e  +3e  +...  +ne ≡ ∑ ae =
1
e+1		 ne+1  +  1
2		 ne  + ... 

Versione numerica invece di letterale per il max addendo

1  +  2  +  3  +  4   ≡   4
∑
a=1		   a   =  
1
2		 42  +  1
2		 4
                         
1  +  22  +  32  +  42   ≡   4
∑
a=1		   a2   =  
1
3		 43  +  1
2		 42  +  1
6		 4
                         
1  +  23  +  33  +  43 ≡ 4
∑
a=1		   a3 =
1
4		 44  +  1
2		 43  +  1
4		 42  +  0·4
                         
1  +  24  +  34  +  44 ≡ 4
∑
a=1		   a4 =
1
5		 45  +  1
2		 44  +  1
3		 43  +  0·42  −  1
30		 4
                         
1  +  25  +  35  +  45 ≡ 4
∑
a=1		   a5 =
1
6		 46  +  1
2		 45  +  5
12		 44  +  0·43  −  1
12		 42  −  0·4

 

1  +  2  +  3  +  4   ≡   ∑ a   =  
1
2		 42  +  1
2		 4
                       
1  +  22  +  32  +  42   ≡   ∑ a2   =  
1
3		 43  +  1
2		 42  +  1
6		 4
                       
1  +  23  +  33  +  43 ≡ ∑ a3 =
1
4		 44  +  1
2		 43  +  1
4		 42  +  0·4
                       
1  +  24  +  34  +  44 ≡ ∑ a4 =
1
5		 45  +  1
2		 44  +  1
3		 43  +  0·42  −  1
30		 4
                       
1  +  25  +  35  +  45 ≡ ∑ a5 =
1
6		 46  +  1
2		 45  +  5
12		 44  +  0·43  −  1
12		 42  −  0·4

 

  1. 1 + 2 + 3 + ... 
  2. 12 + 22 + 32 + ... 
  3. 13 + 23 + 33 + ... 
  4. 14 + 24 + 34 + ...
  5. ...

 

1  +  22  +  32  +  42  +  52    ≡    5
∑
a=1		   a2   =   
1
3		 53  +  1
2		 52  +  1
6		 5
                             
1  +  23  +  33  +  43  +  53    ≡    5
∑
a=1		   a3   =   
1
4		 54  +  1
2		 53  +  1
4		 52  +  0* 5
                             
1  +  24  +  34  +  44  +  54    ≡    5
∑
a=1		   a4   =   
1
5		 55  +  1
2		 54  +  1
3		 53  +  0* 52  −  1
30		 5
                             
1  +  24  +  34  +  44  +  54    ≡    5
∑
a=1		   a4   =   
1
5		 55  +  1
2		 54  +  1
3		 53  +  0* 52  −  1
30		 5