^^Estensione algebrica di un campo.

L'esempio piu' semplice e canonico

Estensione algebrica dei razionali per includere √2

gli elementi sono le somme formali

a+b√2  a,b∈ℚ     cioe'  ℚ+ℚ√2 ≡ ℚ(√2)

in cui oltre ai nr raz, si aggiunge il simbolo √2

con questa operatività

1. a√2 + b√2 = (a+b)√2
2. √2*√2= 2     cioe' √2 e'  soluzione dell'eq  x² = 2
3. le usuali regole formali

Teo: ℚ+ℚ√2  e' chiuso rispetto a somma e moltiplicazione

cioe' la forma a+b√2 e' il risultato di una qualsiasi espressione di somme e prodotti di tale forma.

dim:

chiuso rispetto alla somma

(a+b√2) + (c+d√2) = (a+c) + (b+d)√2

chiuso rispetto al prodotto

(a+b√2)(c+d√2)  =  ac + ad√2 + bc√2 + bd√2√2

=  ad + (ad+bc)√2 + 2bd  =  (ad+2bd) + (ad+bc)√2

Teo: All the field properties are very easily verified

with the exception of the existence of multiplicative inverses: but even that is a simple exercise.

dim:

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