^^Il CM di un trilato coincide col CM di 3 punti di ugual massa posti nei vertici.

Una dimostrazione usando i metodi generali, e' semplicemente applicarli in entrambi i casi e verificare l'uguaglianza del CM.

Dim: concentrando la massa nei vertici

1. vedo la mediana di un trilato, il lato che divide in 2 parti uguali, e i segmenti paralleli a tale lato che riempiono il trilato, tagliati anch'essi a meta' dalla mediana. Diciamo che il trilato ha massa =1.
2. per ognuna di queste meta' segmento, concentro la sua massa sul lato; cosi' facendo ridistribuisco la massa, ma lascio inalterato il CM.

   Lo stato finale e' cosi':

   1. la massa del tri e' concentrata sui lati da cui genera la mediana,
   2. ognuno dei 2 lati ha 1/2 massa del trilato.
3. Prendo 2 altri trilati, e ripeto per le altre 2 mediane.

   Per ogni lato esistono 3 casi:

   • un lato non ha massa quando fa da base
   • negli altri 2 casi la distribuzione di massa sono una la simmetrica dell'altra rispetto al centro del lato; poiche' il vertice del lato in un caso e' attaccato al vertice della median, e nell'altro caso alla sua base.
4. sovrappongo i 3 trilati, ottenendo 1 trilato; cio' non cambia il CM.

   Ogni lato

   • ha massa:  0 + 1/2 + 1/2 = 1
   • distribuzione di massa simmetrica rispetto al centro del segmento. dim: e' la somma di 2 distribuzioni "flipped" (una la simmetrica dell'altra rispetto al centro).
5. concentro la massa dei semilati ai vertici; cio' non cambia il CM.

   Ogni vertice ha massa:

   ad ogni vertice convergono 2 semilati, 1/2 + 1/2  = 1.

6. Conclu: i 3 vertici hanno massa = 1/3 della massa del tri.

Dirlo

1. vedo la mediana di un trilato, il lato che divide in 2 parti uguali, e i segmenti paralleli a tale lato che riempiono il trilato, tagliati anch'essi a meta' dalla mediana
2. dato un triangolo ABC, sia AB la base e m la mediana passante per C, allora si può "affettare" ABC come unione di infiniti segmenti paralleli ad AB,

   inoltre per similitudine m interseca tutti questi segmenti nel loro centro.

3. vedo la mediana di un trilato, "affettato" in segmenti paralleli al lato tagliato a meta' dalla mediana, tagliati anch'essi a meta' dalla mediana
4. vedo la mediana di un trilato, "affettato" in segmenti paralleli tagliati a meta' dalla mediana
5. vedo il trilato con la mediana, il lato al suo estremo, e i segmanti paralleli a tale lato, tagliati a meta' dalla mediana