^^I significati della divisione. Approfondimento.

Divisione di una grandezza

Che cosa si divide? Una grandezza. In astratto una grandezza, in pratica un sistema.

Dividere in parti uguali = Dividere in parti uguali una grandezza.

Che cosa si divide in parti uguali? Una grandezza. In astratto una grandezza, in pratica un sistema.

 

Quante parti, quanto grandi

          Quante
parti		 Quanto
grandi
6     / 6=2+2+2 3 2
= 3        
2      \ 6=3+3 2 3

Dato, ricavo

  dato: la grandezza delle parti (2) 2 2 2
  ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
ricavo: il numero di parti 3 parti
6     /  
= 3  
2      \
  dato: il numero di parti (2) 2 parti
  ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
ricavo:  la grandezza delle parti  3 3

 

          Dato Ricavo
6     / 6=2+2+2 la grandezza delle parti (2) ricavo: il numero di parti (3)
= 3        
2      \ 6=3+3 dato: il numero di parti (2) ricavo:  la grandezza della parte (3)

 

        Pensando solo ai numeri Interpretazione fisica
6     / quante volte ci sta?
quante_volte ci sta il 2 nel 6?		 misura del 6 rispetto al 2
= 3      
2      \ quanto sono grandi le parti?
quanto sono grandi le 2 parti del 6?
quanto grandi sono 2 parti uguali?
grandezza di ognuna delle  2 parti uguali		 grandezza della parte

Divisione omogenea (= tra valori della stessa variabile della proporzione)

        Pensando solo ai numeri Interpretazione fisica
6 m     / quante_volte il 2 sta in 6 misura del 6 rispetto al 2
= 3      
2 m      \ dividere il 6m in 2 parti uguali grandezza della parte

Divisione eterogenea (= tra valori di 2 diverse variabili della proporzione zione)

        Pensando solo ai numeri Interpretazione fisica
6 euro     / quante_volte il 2 sta in 6 misura del 6 rispetto al 2
= 3      
2 m      \ dividere il 6m in 2 parti uguali grandezza della parte

 

Relazione tra:

- quante volte il 2m sta in 6m
- dividere il 6m in parti uguali a 2m

L'operazione e' una cosa, il risultato un altro

operazione: dividere il 6 in 2 parti uguali

risultato:

Interpretato come divisione

      Risultato
  / in parti di fissata grandezza numero di parti
dividere      
  \ in un fissato numero di parti grandezza della parte

Una domanda che risuona nelle orecchie

d: quante volte ci sta?

E' tutto un numero

E' tutto un numero, e ogni numero, lo stesso numero, ha piu' significati a seconda del suo legame con la realta'.
Anche all'interno dei numeri astratti della matematica:
- dati i numeri
- c'e' il numero di numeri, che ha un significato diverso dai precedenti.
es: 6=3+3; commento: i 3 sono 2. Commento: nel commento precedente "3" e' un numero base, "2" e' un numero di numeri.

 

Links

ix Proporzionalita'.

 

 

 

Guida ins

Titolo

I 2 significati della divisione.

c: 2 sono i significati piu' evidenti, pero' ce ne sono altre.

Alter espo

Dividere in parti uguali:

1 fissato il numero delle parti Es: dividere la torta in 3 parti.
2 fissata la grandezza comune delle parti, con un eventuale resto Es: dividere il tavolo in spanne = quante spanne e' lungo il tavolo.

c: questa formulazione evidenzia che cmq si tratta sempre di dividere, solo che lo si puo' fare con 2 modalita'.

Questi sono i 2 significati fondamentali della divisione:

  1. ripartizione. Dividere per ripartire (distribuire) in parti uguali.
  2. misura. Dividere per misurare.

 

  1. Dividere in un fissato numero di parti uguali, di conseguenza la grandezza delle parti.
  2. Dividere in parti in fissata grandezza, di conseguenza il numero di parti, con un eventuale resto

 

1 fissato il numero delle parti di conseguenza la grandezza delle parti Es: dividere la torta in 3 parti.
2 fissata la grandezza comune delle parti di conseguenza il numero di parti, con un eventuale resto Es: dividere il tavolo in spanne = quante spanne e' lungo il tavolo.

 

  Fissato Di conseguenza  
1 il numero delle parti la grandezza delle parti Es: dividere la torta in 3 parti.
2 la grandezza comune delle parti il numero di parti, con un eventuale resto Es: dividere il tavolo in spanne = quante spanne e' lungo il tavolo.

 

 

 

Versioni grafiche di studio

Dato: la grandezza delle parti  2   2u 2u 2u
      ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
Ricavo: il numero di parti  3  3 parti

 

Dato: la grandezza delle parti (2)   2u 2u 2u
    ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
Ricavo: il numero di parti 3 parti

Dato:  il numero di parti (2)   2 parti
    ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
Ricavo: la grandezza delle parti  3u 3u

 

Dato: la grandezza delle parti (2)   2u 2u 2u
  ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
Ricavo: il numero di parti 3 parti

Dato: il numero di parti (2)   2 parti
  ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
Ricavo:  la grandezza delle parti  3u 3u

 

 

                     
        dato: la grandezza delle parti (2) 2 2 2
          ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
        ricavo: il numero di parti (3) 3 parti
6     /              
= 3                
2      \              
        dato: il numero di parti (2) 2 parti
          ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
        ricavo:  la grandezza della parte (3) 3 3

 

 

Links

ix Proporzionalita'.

 

 

es: 3,5 kg di pere a 2,7 euro;
d: 5 kg corrispondono a  quanti euro?
d: quanti kg corrispondono a 10 euro?

  kg euro
A A= 2 kg A= 3 euro
B B= 4 kg B = 6 euro

 

  kg euro euro/kg
A A= 2 kg A= 3 euro 3euro/2kg = 1,5 euro/kg
B B= 4 kg B = 6 euro 6euro/4kg = 1,5 euro/kg
B/A 4kg/2kg = 2 6euro/3euro = 2   

 

       
  xAyAxByB xAxByAyB  
  yAxAyBxB xBxAyByA  
       
       

:=

       
  xA:yA=xB:yB xA:xB=yA:yB  
  xB:yB=xA:yA yA:yB=xA:xB  
       
  yA:xA=yB:xB xB:xA=yB:yA  
  yB:xB=yA:xA yB:yA=xB:xA  
       
       

*

  yA*xB
yB=
  xA

 

N x y
A xA yA
B xB yB

 

In astratto

  x y k=y/x
A 2 3 1,5
B 4 6 1,5
m=B/A 2 2  

 

 

Raffigurare

Le coppie di valori   (massa;  prezzo) si possono raffigurare con un triangolo rettangolo, o un rettangolo, in cui :
 massa=base   e   prezzo=altezza.
(massa;  prezzo)  = (base ; altezza).

 

E' la forma usata in fisica, poiche' tramite la denominazione mette in evidenza come e' organizzato il sistema sotto studio: in sistemi e variabili.

N M P
A massa_A prezzo_A
B  massa_B prezzo_B
Consideriamo 2 corpi.
Di tutte le grandezze misurabili di un corpo,  qui si considerano solo: volume e  massa
- i valori di un corpo "di riferimento": volume_r e massa_r
- e i valori dell'altro corpo:   volume e  massa.
N V M
A VA MA
B VB MB
 
N x y
A xA yA
B xB yB
In astratto, con le variabili astratte x e y:
  • xA   xB  sono 2 valori della variabile x: xA del sistema A, xB  del sistema B.
  • yA   yB  i corrispondenti valori dell'altra variabile.
  • Si puo' organizzare il tutto in una tabella


xB yB  
=
=m   
xA yA
 volume  massa
=
 
volume_r massa_r
     

Rapporto tra i valori della grandezza omonima

viene interpretato come:
- il rapporto: la misura del sistema rispetto a quello di riferimento, rispetto alla grandezza in considerazione
- i sistemi: la misura del sistema rispetto a quello di riferimento

yA yB
=
 =k    
xA xB
massa_r  massa
=
volume_r  volume

Rapporto tra i valori di grandezze dello stesso sistema

viene interpretato come:
- il rapporto: la quantita' di una grandezza che corrisponde a 1 unita' dell'altra grandezza
- i sistemi: hanno lo stesso sistema unitario

Rapporto di 2 numeri

Il rapporto tra 2 i numeri di 2 misure esprime la misura di una grandezza rispetto all'altra, in altre parole: quanto una e' piu' grande dell'altra.

Pero' il rapporto si puo' interpretare anche in un altro modo:
quanto del primo termine corrisponde a 1 unita' del secondo termine.