| y'=k√y | semplificando, ignoriamo le costanti moltiplicative |
| y'=√y | oppure, circa equivalente, per togliere la radice quadra, eleviamo
entrambi i membri al quadrato, come fosse un'equazione algebrica |
| y'2=y | la derivata della funzione, elevata al quadrato e' uguale alla funzione
stessa! Questa equazione ha piu' soluzioni della precedente, prima doveva y' >=0. |
| La prima cosa che mi sovviene e' la funzione esponenziale y=ex | |
| y'=y | pero' non c'e' verso di far comparire la radice quadrata |
| (ex)2= e2x
D(ekx)=kekx |
Scrivere equazioni differenziali e' facile, risolverle: difficile. |
| D(ex^2)=2xex^2 | in generale: |
| D(ex^n)=nxn-1ex^n | Niente da fare. Abbandono. Dopo un paio di giorni mi sono ricordato che |
| D(1/x)=-1/x2 | y'=-y2 il "contrario" di quello che volevo, ma finalmente una
nuova strada. Faccio qualche tentativo. |
| D(1/x2)=Dx-2=-2x-3 | y'=-2y3/2 proviamo in generale |
| Dxn=nxn-1 | y'=ny(n-1)/n o anche (y')n/(n-1) =ny. Per ottenere cio' che voglio deve essere |
| n/(n-1)=2 | n=2 ! Ma come ho fatto non accorgermene prima? |
| Dx2=2x | 4x2=x2 y'2=y circa, cioe' a meno di una costante moltiplicativa. Esatto: y'2=4y |
| Ho trovato una soluzione particolare, qual e' la soluzione generale? y'2=y Vale per una generica funzione polinomio di 2°? |
|
| y=at2+bt+c D(at2+bt+c) = 2at+b |
y=y'2 il polinomio di 2° deve essere il
quadrato di un binomio! Proviamo se qualsiasi quadrato di binomio soddisfa |
| y=(at+b)2
D(at+b)2 = 2a(at+b) |
y'=k√y y=((1/2)kt+b)2
y'=k((1/2)kt+b) Att! √x2 = x solo per x>=0 In particolare: y'=√y y=x2/4
. Soluzione generale: y=(x-x0)2/4 . d: si poteva capire dall'inizio? |
In astratto possiamo dire che l'equazione differenziale y'=-k√y enuclea come soluzioni la famiglia di parabole con vertice sull'asse delle x, concavita' verso l'alto.
| y'=k√y | passo alla notazione potenza |
| y'=ky1/2 | derivata di entrambi i membri, introduco nuove soluzioni |
| y"=(1/2)ky-1/2*y' | riprendo y' dalla equazione iniziale per sostituire |
| y"=(1/2)ky-1/2*ky1/2 | y-1/2*y1/2 =1 |
| y"=(1/2)k | la derivata seconda e' costante! E' un moto ad accelerazione costante = (1/2)k c0 + c1x + ½kx² |
Trust in what you don't see, not by faith, but science.