^^Discesa volano su piano inclinato (rotolare senza strisciare), legge oraria.   .avi   .xls

Paragone con  Discesa rettilinea di sfera su piano inclinato, legge oraria.

Visione differenziale vs integrale

Il volando scende rotolando sul piano inclinato:

sono cinematicamente tremendamente diversi.

Ma e' anche vero che una connessione tra i 2 moti c'e': c'e' addirittura un invariante: il dislivello, uguale per ipotesi. A questa invarianza, si sposa il "GUARDARE PER ENERGIA". Alla fine della discesa, tutta l'energia gravitazionale si e' trasformata in energia cinetica, ma ripartita diversamente tra rotatoria e traslatoria.

Domande

  1. Anche le velocita' sono tremendamente diverse?
  2. Aumentano di piu' i tempi o le distanze? (come rapporto)
  3. Se invece di essere un "rotolare senza strisciare" e' uno "scivolare senza attrito"? (come conseguenza il moto rotatorio ... e' uguale a zero!)

Legge del moto misurata

  s cm
N t y
0 0 0
1 8 10
2 11,7 20
3 14,6 30
4 17 40
5 19,2 50
6 21,2 60
7 23 70
8 24,6 80
9 26,2 90
Grf

Versione vecchia, tenuta per vedere se la nuova e' davvero meglio

Il moto di discesa su un piano inclinato, del volano sul suo perimetro, ed il moto di discesa rotolando sull'asse di diametro 20 volte minore, sono cinematicamente tremendamente diversi: distanze, tempi, sono tremendamente diversi. Ma e' anche vero che una connessione tra i 2 moti c'e': c'e' addirittura un invariante: il dislivello, uguale per ipotesi. A questa invarianza, si sposa il "GUARDARE PER ENERGIA".

Da fare, e' ripreso da Discesa rettilinea di sfera su piano inclinato, legge oraria.

Teoria

Calc la velocita' traslatoria finale. Caso: partenza da fermo.

1 EGini = ECfin 

 

 EG Energia Gravitazionale, EC Energia Cinetica.

Conservazione energia, nel caso "trasformazione totale",

precis: nell'ipotesi: EGfin=0 e ECini=0
2 EG = mgh Frml EG
3 ECTrasl=(5/7)EC L'en cin non e' tutta traslatoria, solo una frazione.

Nel caso di una sfera piena omogenea: 5/7 del totale.
4 ECTrasl= (1/2)mvcm2 per definizione
5 (1/2)mvcm2 = (5/7)mgh passaggi mtm da 1e2e3e4.
6 (1/2)vcm2 = (5/7)gh pass. Questo passaggio mtm banale, ma fisicamente "purga" la massa! La velocita' finale non dipende dalla massa. Si poteva intuire gia' prima di fare i conti?

d: dove e' purgata la dipendenza dalle dimensioni?
  vcm2 = (10/7)gh  
  vcm =  √((10/7)gh)  


Discesa rettilinea di sfera su piano inclinato (rotolare senza strisciare)

e' un MAK
Vederlo, si vede, ma come giustificarlo teoricamente?
 

Teo: se 2 MAK hanno uguale velocita' iniziale e finale ...
hanno uguale vmedia, e quindi lo stesso rapporto  ∆s/∆t.

dim: ∆v = a∆t.  ∆v = k per ipotesi, passando da un moto all'altro. Quindi  a∆t = k, cioe' a e ∆t sono inversamente proporzionali

Calcolare la durata del MAK

Dipende da quali info si hanno.

∆t Ricavato da
  ∆L
∆t=
  vm
  ∆L
vm=
  ∆t

Tracciare la legge oraria x=f(t)

Appurato che il moto e' un MAK, la legge oraria e' data da s=(1/2)at2, e quindi occorre:

  1. calc acceleraz a
  2. pero' occorre anche sapere la durata del moto. Cio' si puo' calcolare con formula inversa diretta t= √(2s/a), pero' forse conviene passare attraverso il calcolo della velocita' media vmedia=(1/2)vG, durata, acceleraz a=∆v/∆t

Legge oraria MAK

1 (∆t)2            1 t2   v2     |s0=0

|v0=0

|t0=0

         
∆s= v0∆t + 
a   s=
a  =
   
2     2   2a  

Inverse

  2s     v2     |s0=0

|v0=0

|t0=0
a=
 =
 
  t2   2s

Le forze di un grave sul piano inclinato, nel caso statico

Qualunque sia il corpo, un cubo o una sfera, o un cilindro, uno straccio, la forma non importa, P e' la risultante delle forze peso subite dal corpo. Per essere in equilibrio, P deve essere equilibrata dal sistema di forze equilibranti, anch'esso con una risultante, che deve essere opposta a P.

E' opportuno, spesso, scomporre la forza peso (e la forza equilibrante) in 2 componenti: le forze tangenziale e normale:

T=Psen(β)

N=Pcos(β)

L'accelerazione sul piano inclinato, ricavata dall'energia

Fissiamo le idee pensando a tanti piani inclinati di ugual altezza.

La velocita' finale e' la stessa indipendentemente dal percorso fatto, dipende solo dal dislivello.

Nel caso di traiettorie rettilinee, cioe' piani inclinati, il moto e' MAK

v2= 2as     a acceleraz, s lunghezza discesa, v velocita' finale, partendo da fermo

questa formula e' applicabile per tutti i piani inclinati, anche quello verticale

v2= 2gh    discesa verticale, g acceleraz gravita', h dislivello

Da cui per transizione di uguaglianze:

as=gh

mas = mgh    si passa alla visione dinamica moltiplicando per m e

Fs = Ph         a quella energetica tramite la legge di Newton F=ma

il lavoro lungo i 2 percorsi: verticale e inclinato e' uguale.

  h   h  
F= P  
        
= sen(β)
  s   s  

 

  h   h  
a= g  
        
= sen(β)
  s   s  

Lo studio si puo' affrontare pensando di piu' alla cinematica o all'energia.

Conservaz energia, fornisce la velocita' finale.

1   1
mv2 = mgh           
v2 = gh
2   2

Sapendo che e' MAK, la velocita' finale puo' essere raggiunta con diverse accelerazioni su diversi percorsi, e quindi e' determinabile conoscendo o la durata o la lunghezza. In questo caso si conosce la lunghezza percorsa.

1      | v0=0          1        | v0=0              
v2 =  a∆s    
mv2 =  F∆s      F=ma  
2     2      

Come modificare il ragionamento nel caso di una sfera che rotola senza strisciare?

Anche la discesa verticale puo' essere fatta rotolando senza strisciare: pensiamo allo jo-jo!

Anche il moto della sfera (che rotola senza strisciare su un piano inclinato) e' MAK, e quindi:

     a acceleraz, s lunghezza discesa, v velocita' finale, partendo da fermo

1                    
v2 =  as    v2= 2as
2      

Pero' non e' piu' vero che nella discesa verticale (g acceleraz gravita', h dislivello)

1                    
v2 =  gh    v2= 2gh
2      

poiche' scende con accelerazione minore. Vale invece:

1                    
v2 =  (5/7)gh    v2=(10/7)gh
2      

Da cui per transizione di uguaglianze: 2as=(10/7)gh

as=(5/7)gh

Se non piace il passaggio per transizione sul v2 , si inverte la formula MAK v2= 2as, in a= v2/2s, dove v2 = (10/7)gh.

Infine:

 

  5   h   h  
a=  
g 
        
= sen(β)
  7   s   s  

 

la posso anche scrivere

  5   h
a= (
g) 
  7   s

poiche' immagino che equivale a uno slittamento sotto una forza di gravita' diminuita.

 

dida: Devo ripassarmi la meccanica del corpo esteso.

Domande:

  1. Il teorema dell'energia cinetica scomposta in traslatoria e rotatoria, ha una corrispondenza in un lavoro della risultante traslatorio e del momento risultante rotatorio?
  2. Nel paragone dinamica traslatorio e rotatoria, in cui a F=Ma corrisponde M=I*acceleraz_angolare. Come si inserisce il moto rotoloato ad acceleraz cost?