^^Rettangoli equiperimetro. Txt.

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tema: Disegnare rettangoli equiperimetro e organizzare, commentare.

Una soluzione al tema

Decidere se disentare in quadretti od in centimetri.

Il disegno in cm sui q5 stimola poi a considerare l'ulteriore suddivisione in ½cm=1q.

.odg|pdf

c: Disegnare rettangoli equiperimetro

Abbrev: q quadrett-o/i; rtg rettangol-o/i; tb tabella.

Tb: 4 colonne, larghe 2cm (2cm = 4q5 = 5q4). Riga intestazione, alta 3q; + 9 righe, alte 2q (righe di scrittura, senza righe disegnate).

Legenda lettere intestazione tb

x lunghezza lato x del rtg

y lunghezza lato y del rtg

P perimetro rtg

A area rtg

x y P A
       
       
3 6    
       
       
       
       
       
       
  1. Rtg cartesiano 10x10 q.
  2. Disegnare un 1° rtg, con un lato sull'asse x, e un lato sull'asse y, lunghi  x=3q  y=6q
  3. Il rtg successivo si ricava dal precedente:
    1. abbassando di 1q il lato superiore, e
    2. spostando a destra di 1q il lato destro.
  4. Disegnare; scrivere i dati in tb, in ordine crescente di x; es x=3 nella riga 3. Ripetere.

c: Ripetere con rtg iniziale di uguale lato x, e lato y piu' lungo di 1q.

Come calcolare il perimetro ?

  1. x+y+x+y
  2. (x+y)*2
  3. x+x+y+y
  4. 2x+2y
   

sono procedimenti di calcolo diversi, ma che portano sempre allo stesso risultato. Com'e' possibile?

 

 

Cosa si nota ? (durante-finito l'esercizio)

classe
  • perimetro costante
  • area varia
il perimetro e' costante per caso, o c'e' una ragione-spiegazione ?
alcuni un lato aumenta, l'altro diminuisce
  Quanto? Precisamo, poiche' se aumenta 3 e diminuisce 2 ...
 
  Quanto si puo' proseguire nel fare i rettangoli ?
  • Sicuramente a gambero, come molti allievi hanno fatto, e la tb suggeriva.
  • Un allievo ha fatto una riga lunga 9 sull'asse x, ha senso ?
  • Un allievo ha chiesto se i rtg puo' farli anche sotto l'asse x, io gli ho detto che se puo' farli lì, allora c'e' anche un altro posto dove puo' farli, dove?
  Come varia l'area in funzione della forma del rtg ?
Falchi_2015 20 e' il massimo, coi lati  4 e 5
  La regola di variazione che abbiamo applicato, vale solo per variazioni con numeri interi ?
Falchi_2015 anche coi decimi
  Usando anche i decimi, cioe' con variazione continua, quando l'area e' massima ?
Falchi_2015 4e5
  pronuncia i numeri decimali usando la virgola, poiche' la congiunzione "e" confonde, e aggiungi a chi si riferiscono i numeri che dici
Falchi_2015 l'area e' massima quando entrambi i lati sono lunghi 4,5
  cioe' la forma della figura e' ...
Falchi_2015 un quadrato
  un rettangolo quadrato. Calcoliamo per verificare l'intuizione in questo caso, che pero' e' da dimostrare in generale.
Falchi_2015 4,5 * 4,5 = 20,25 > 20  !  verificato !
  Nella sequenza di rtg da noi considerata, l'area aumenta e poi diminuisce, con la stessa stessa sequenza invertita d'ordine, esiste una ragione-spiegazione o e' un caso ?
   
  Come spiegare la sequenza di aumento ? Perche' aumenta ?

Usiamo le variazioni col segno, sono comode

diminuisce 

aumenta

di 1

di 1

 = varia di -1

 = varia di +1

  ∆x=-1

  ∆x=+1

Variazione con/senza segno; detta senza specificazione, in fisica, si intende col segno, per comodita' di brevita', poiche' e' quella quasi sempre usata. Quindi il fisico dira': "variazione" e "variazione assoluta".

Ridiciamo in linguaggio matematico, usando il  ∆ ed i nr col segno

∆x=-1  ∆y=+1  ∆x+∆y = 0  ∆P=0  ∆(x+y)=0    ∆x=k=-1   ∆y=k=+1

∆A>0 poi ∆A<0.

Precisare l'aspetto temporale del variare

ridirlo usando "mentre-intanto":

mentre un lato aumenta, intanto l'altro diminuisce.

Costruiamo una frase-conclusione da imparare a memoria

Associazione

trasoformazioni equiperimetro.

Guida ins

x y P A
1 8 18 8
2 7   14
3 6   18
4 5   20
5 4   20
6 3   18
7 2   14
8 1   8
9 0   0

Molti allievi durante l'esecuzione, anche tra quelli svegli-volonterosi, continuano a calcolare il perimetro; tendo ad interpretare questo: o come non aver individuato la regola, o a non fidarsi ad applicarla.

Come calcolare il perimetro ?

sono procedimenti di calcolo diversi, ma che portano sempre allo stesso risultato. Com'e' possibile?

i numeri sono cosi'; sono le proprieta' dei numeri.

Perche' i nr hanno queste proprieta' ? Come si chiamano ?

I nr sono stati inventati-scoperti-usati proprio perche' riproducono in modo simbolico gli stati e le trasformazioni concrete del mondo.

Occasione per introdurre le variazioni con segno

"tanto/quanto" e' un modo espressivo che vale la pena di introdurre-formalizzare ?

rem: altri modi: come/cosi' mentre/intanto se/allora seEsoloSe

Il perimetro del rettangolo che cambia forma ...

rimane costante ⇔ tanto un lato diminuisce, quanto l'altro aumenta.

c: a me piace cosi', ma forse per un neofita e' piu' semplice:

rimane costante ⇔ un lato diminuisce tanto quanto l'altro aumenta.

O altra forma ancora.

Il perimetro del rettangolo che cambia forma ...

rimane costante ⇔ un lato diminuisce tanto quanto l'altro aumenta.

In generale: la somma di 2 variabili e' costante  ⇔  le loro variazioni sono opposte, Es: -5 e +5.

c: diversamente associate caso e generalizzazione.

Rettangolo coi "lati scambiati", ruotato di 90°.

Paragone: "Aumento" "allungamento"

  1. Allungamento di un elastico in senso specifico. |  Doc.
  2. Aumento e diminuzione, crescita e decrescita, incremento e decremento, espansione e contrazione, allungamento e accorciamento, variazione.

Teo: ∆(x+y)=∆x+∆y  differenziale della somma.

Links

Differenziali, incrementi, variazioni, e loro composizione.

 

 

 

Talk

 

Versione originale, abbandonata, ho cercato di "stringere"

  1. Disegna un rettangolo cartesiano 10x10 q.
  2. Dentro il rtg cart disegneremo dei rettangoli, tutti con l'angolo in basso a sinistra coincidente con l'origine, con il lato di base sull'asse x, e il lato sinistro sull'asse y.
  3. Prepara una tb:

Legenda tb

N numerazione righe

x lunghezza lato x del rtg, cioe' orizzontale

y lunghezza lato y del rtg, cioe' verticale

P perimetro rettangolo

A area rettangolo

 

Assegno il primo rtg: detto le dimensioni, che vanno scritte nella riga 3; x=3 y=6.

Il rtg successivo si ricava dal precedente: abbassando di 1 il lato superiore, e spostando a destra di 1 q il lato destro.

Disegnare, scrivere i dati in tb: x y P A, e ripetere.

 

N x y P A
1        
2        
3 3 6    
4        
5        
6        
7        
8        
9        

 

 

N x y P A
1 1 8 18 8
2 2 7   14
3 3 6   18
4 4 5   20
5 5 4   20
6 6 3   18
7 7 2   14
8 8 1   8
9 9 0   0