^^L'area del quadrato coi vertici sui nodi della
quadrettatura, e' sempre un numero intero.
Ci siamo occasionalmente accorti che se i vertici di un quadrato
sono mossi sui nodi di una griglia, allora ...
La storia (a punti)
- Tutto e' cominciato 4nov2010 1AT, con un quadrato:
.ggb. Si nota che ... (avanti
c'e' la risposta)
- Mi sono domandato se fosse un caso, o valesse per tutti i quadrati.
- Mi sono risposto col teoPitagora, prima algebricamente (sono abituato
cosi') (vedere avanti), poi graficamente
.ggb. Forse e' il
teoPit, non una conseguenza, ma proprio lui, in un caso particolare "inchiodato"
ad un reticolo quadrettato.
d: E' possibile rispondere in altro
modo?
- E per tutti i rettangoli? E per tutti i poliquadrati? E per tutti i poligoni?
- In esplorazione libera sui rettangoli, pero' non vincolati tali, quindi
quadrilateri, scopro che per i quadrilateri incrociati ...
butterfly.ggb
- L'intuizione e' che la risposta sull'area ha a che fare coi "triangoli
che costituiscono il bordo del poligono" (il significato del testo tra virgolette e' da precisare).
Quest'idea intuitiva mi conduce ad un'indagine precisa: l'area dei
triangoli.
Sempre contemporaneamente quest'idea mi fa considerare i poligoni poliquadretti
.ggb
L'area dei rettangoli mi e' immediato che e' intera, e' una conoscenza
base di sottofondo ai miei pensieri.
1R: L'area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia, e' sempre un numero
intero,
nonostante che:
- sia fatto di quadrati spezzati
- la lunghezza dei lati non sia intera
3R dim: calcolo l'ipotenusa col teoPit
L'area e' il suo quadrato, quindi A= c2 = a2 + b2
= intero in quanto somma di quadrati di interi.
L'area dei triangoli (rettangoli)
- L'area dei triangoli rettangoli e' meta' di quella del rettangolo
scatola (= che li inscatola = rettangolo circoscritto).
- La meta' e' intera se il doppio e' pari.
- Il pari, che' e' l'area, e' ottenuto dalla moltiplicazione dei 2 lati.
- Il pari e' la moltiplicazione di 2 numeri se uno dei 2 e' pari, e'
dispari se e solo se i 2 fattori sono dispari.
- E' semintera se i lati sono di lunghezza dispari, altrimenti e' intera.
Cmq l'area non puo' essere con la virgola con un qualsiasi numero dopo la
virgola: o intera o ,5 (virgola 5).
L'area dei parallelogrammi (e quindi i rettangoli)
Intuitivo: Siccome i lati vanno a coppie, c'e' sempre un doppio di mezzo, che
elimina eventuali seminteri.
quadrilat.ggb
Quadrati con i vertici sulla griglia
.ggb |
il primo casuale, che ha stimolato l'interesse. |
.ggb |
icona |
2.ggb |
costruzione "a mano" basata sulla griglia per spiegare l'area,
tramite il metodo di scomposizione |
3.ggb |
costruzione di scomposizione, riferita alla figura, di modo che si
adatti automaticamente al variare della figura. Viene evidenziato il
quadrato interno, tramite la definizione di un quadrato lì posto.
Le rette sono costruite in ordine antiorario.
Al variare della figura, il quadrato puo' diventare esterno. |
4.ggb |
Invece di evidenziare il quadrato, vengono evidenziati i triangoli. |
5.ggb |
Costruito: I rettangoli che inscatolano i lati. Appare (= Come
figure non direttamente definite si notano): quadrato interno ed esterno
(= quadrato inscritto, e quadrato circoscritto). Una "corona quadrata",
in analogia alla corona circolare. |
Formule di scomposizione
a,b,c cateti e ipotenusa del triangolo rettangolo che esternamente
completa a quadrato-scatola, = base e altezza dei lati del quadrato
(a+b)2 = c2 + 2ab sviluppando il quadrato:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
a2+2ab+b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2 e' il
teoPitagora.
5.ggb quadrato interno e esterno
(a+b)2 = (a-b)2 + 4ab
Notare
- I lati ortogonali del quadrato, hanno base e altezza scambiati !!!
Teo: Area calcolata coi nodi.
>>>
Titolo
- Quadrato coi vertici sui nodi della griglia.
c: questa pagina e' specifica dell'area.
- Area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia.
c: Questo e' il titolo-pre, pre studio.
- L'area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia, e' sempre un numero
intero.
c: Ho scelto questo titolo, che e' in accordo con una visione a posteriori.
Links
- Quadrato coi vertici sui nodi
della griglia.
- esof: Area dei poligoni
coi vertici sui nodi della griglia.
Alter espo