^^Effetto Joule. 2006 tema 2. Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca.

L'effetto Joule ha tantissime applicazioni pratiche, anche all'interno delle nostre case. Il candidato risponda ai seguenti quesiti e, dove e' necessario effettuare calcoli, descriva i passaggi intermedi e commenti le conclusioni.

  1. Descrivere e spiegare l'effetto Joule con una breve relazione scientifica.
  2. Spiegare perche' la resistenza di un conduttore aumenta con l'aumento della temperatura. Cosa succede, invece, nel caso di un semiconduttore?
  3. Rappresentare graficamente e commentare l'andamento dell'intensita' di corrente nel filamento di una lampada, in funzione del tempo, da quando e' freddo a quando e' diventato incandescente (si supponga costante la ddp applicata al filamento).
  4. Spiegare il significato dell'espressione "corto circuito" che si sente qualche volta come causa d'incendio in un appartamento.
  5. Spiegare il concetto di "potenza elettrica" e ricavare le formule che permettono di calcolare sia l'energia e sia la potenza in corrente continua e alternata. Ricavare anche le rispettive unita' di misura come grandezze derivate del Sistema SI.
  6. Uno scaldabagno elettrico, con una potenza di 1,2kW, contiene 80 litri d'acqua alla temperatura di 18 °C. Ammettendo che vi sia una dispersione di energia del 5%, calcolare:
    1. l'intensita' di corrente che attraversa la resistenza, sapendo che la tensione di rete e' 220V;
    2. quanto tempo e' necessario, approssimando al minuto, perche' il termostato interrompa l'alimentazione elettrica sapendo che esso e' predisposto per interromperla quando l'acqua ha raggiunto la temperatura di 40 °C;
    3. la spesa da sostenere per portare l'acqua da 18 °C a 40 °C, sapendo che il costo del servizio e' di 0,13 Euro/kWh;
    4. la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione di energia nello scaldabagno.

L'effetto Joule

L'effetto Joule e' il fenomeno per il quale il passaggio di corrente all'interno di un conduttore determina un aumento di temperatura di quest'ultimo. L'aumento di temperatura dipende da vari fattori, fra cui la capacita' termica del conduttore, la possibilita' che esso ceda calore all'ambiente, l'intervallo di tempo preso in esame, e in particolar modo la differenza di potenziale ai capi del conduttore e la corrente stabilita su di esso. Una pila, e in generale un generatore di tensione, forniscono energia ai portatori di carica che circolano in un conduttore. Possiamo immaginare che in una pila, a circuito aperto, esista ai due morsetti una certa quantita' di carica statica non bilanciata, di segno opposto. Una distribuzione di cariche di questo tipo possiede evidentemente una energia potenziale elettrica, dato che e' possibile accelerare i portatori di carica permettendo loro di raggiungere le cariche di segno opposto. Quando si chiude il circuito avviene appunto questo. I portatori di carica (in un conduttore metallico, ad esempio, si tratta di elettroni) si muovono lungo il circuito sotto l'azione del campo elettrico generato dalla distribuzione di cariche: cosi' facendo trasformano energia potenziale in energia cinetica, la quale viene poi trasformata in energia interna del conduttore negli urti disordinati fra gli elettroni e il reticolo cristallino. Tale aumento di energia interna si manifesta attraverso un aumento di temperatura del conduttore stesso: per effetto della corrente che e' presente in esso, il conduttore si scalda. Questa spiegazione dell'effetto Joule ricorre esclusivamente a concetti classici, ma resta in prima approssimazione molto utile.

La dipendenza della resistenza dalla temperatura

Gli stessi concetti classici a cui abbiamo fatto ricorso per illustrare l'effetto Joule posso essere invocati per tentare di spiegare il fatto sperimentale per cui, nei conduttori metallici, l'aumento di temperatura fa aumentare la resistivita' del materiale e di conseguenza la resistenza del conduttore. Si puo' dire, allora, che l'aumento di temperatura fa aumentare la velocita' del moto di agitazione termica tanto dei nuclei atomici nel reticolo cristallino quanto degli elettroni di conduzione. Il primo processo, pero', non puo' essere molto significativo, perche' le velocita' termiche dei nuclei sono comunque molto piccole in confronto a quelle degli elettroni incidenti, e una variazione delle prime non puo' portare a una variazione apprezzabile delle seconde.

Resta dunque il secondo processo. Se gli elettroni hanno velocita' termiche maggiori, il tempo che intercorre fra un urto e l'altro diminuisce; dunque diminuisce il tempo durante il quale in campo elettrico esterno (applicato dalla pila) puo' accelerarli nel moto di conduzione, prima che un urto casuale riporti l'elettrone a condizioni in media uguali a quelle precedenti l'accelerazione. Questa e' la spiegazione classica della dipendenza della resistenza dalla temperatura. Va detto, pero', che questa spiegazione comporta serie diffcolta'. Molti esperimenti mostrano che gli elettroni di conduzione non variano apprezzabilmente la propria energia quando il conduttore viene scaldato: se l'aumento della resistivita' con la temperatura fosse davvero dovuto agli elettroni e fosse spiegabile secondo la fisica classica, il fenomeno non esisterebbe neppure. Una spiegazione del fenomeno compatibile con il complesso delle osservazioni sperimentali viene data invece dalla teoria quantistica dei solidi. Si tratta pero' di un argomento molto avanzato, e non e' verosimile che ci si aspetti che il candidato sia in grado di farvi ricorso. Che il testo non richieda una spiegazione di carattere quantistico lo dimostra il diverso tenore della seconda parte della domanda. In essa non si chiede di "spiegare" il comportamento dei semiconduttori al variare della temperatura, ma soltanto di descriverlo. In effetti, i semiconduttori si comportano in maniera opposta a quella dei metalli: quando la temperatura aumenta, la resistivita' di un semiconduttore diminuisce. Il fenomeno e' del tutto paradossale dal punto di vista classico, e puo' essere spiegato soltanto dalla teoria quantistica.

L'andamento della corrente all'aumentare della temperatura

In termini qualitativi, la variazione della corrente I al variare del tempo t nel filamento di una lampadina sottoposto a una differenza di potenziale costante puo' essere rappresentata come nella fig.(1), dove la differenza fra la curva ideale, corrispondente a una resistenza indipendente dalla temperatura, e la curva reale e' stata opportunamente sottolineata. Al passare del tempo, dapprima la temperatura del filamento aumenta e con essa diminuisce la corrente, secondo quanto previsto dalle legge di Ohm:

∆V = R* I        (11) 

Se il filamento fosse isolato, la sua temperatura aumenterebbe costantemente, almeno fino a raggiungere la temperatura di fusione del materiale che lo costituisce. Ma il filamento perde energia per irraggiamento, e per questo motivo, raggiunta una particolare temperatura (che per una lampadina tradizionale e' intorno ai 3000 K), si viene a creare una condizione di equilibrio dinamico: l'energia ulteriore che "entra" nel filamento come energia elettrica "fluisce" nell'ambiente come energia elettromagnetica. Restando costante l'energia, anche la temperatura del filamento, e di conseguenza la sua resistenza, non variano piu', e la corrente si mantiene di qui in avanti costante.

Il corto circuito

Nella trattazione dei circuiti elettrici, l'espressione corto circuito indica il collegamento di due punti a potenziale differente mediante un conduttore di resistenza molto piccola. Per la legge di Ohm, questa situazione comporta una corrente di intensita' molto elevata. Le considerazioni che precedono, e ancora meglio quelle che seguono, chiariscono che la presenza di una corrente elevata in un conduttore comporta che la temperatura di questo si alzi anche notevolmente. Se il conduttore e' vicino a materiale infiammabile, la condizione di corto circuito puo' dare fuoco a questo materiale, comportando un principio di incendio.

La potenza elettrica

La grandezza fisica potenza e' definita come il rapporto fra una variazione di energia (che puo' avere luogo perche' un sistema guadagna o perde energia, o perche' l'energia di un sistema passa da una forma ad un'altra) e l'intervallo di tempo in cui essa avviene:

 P = ∆E/∆t     (12) 

e' facile notare come, qualora l'energia possa essere scritta come una funzione del tempo, la potenza non rappresenti altro che la derivata dell'energia rispetto al tempo. In ogni caso, la potenza rappresenta la velocita' con cui varia l'energia di un sistema, o una delle sue forme. Come abbiamo visto, in un circuito elettrico l'energia elettrica si trasforma continuamente in energia interna dei conduttori che si scaldano. Si puo' quindi parlare di potenza elettrica, indicando con questo termine la velocita' con cui l'energia elettrica si trasforma in energia interna (o in altre forme di energia). Ricordiamo che l'energia posseduta da un sistema di cariche puo' essere scritta come il prodotto di una di esse per il potenziale elettrico prodotto dalle altre: 

Eel = q*V   (13) 

Se la carica in esame passa da un punto a un altro, attraversando una ddp ∆V, la corrispondente variazione di energia elettrica e': 

∆Eel = q*∆V   (14)

Sostituendo la (13) nella (12), si ottiene: 

P = (q*∆V)/∆t = (q /∆t)*∆V = I*∆V (15) 

dove abbiamo applicato la definizione di intensita' di corrente come velocita' di spostamento della carica: 

I = q/∆t     (16) 

Si giunge cosi' a un risultato molto utile: la potenza elettrica in un conduttore percorso da corrente e' uguale al prodotto dell'intensita' di corrente per la differenza di potenziale ai capi del conduttore. Sostituendo nella (15) a ogni grandezza le corrispondenti unita' nel Sistema Internazionale, si osserva come l'equazione si traduca in una identita': 

A*V = A*(J/(A*s)) = J*s = W   (17) 

La (15) si puo' anche scrivere, grazie alla legge di Ohm: 

P = I*R*I = R* I2    (18) 

Questa relazione e' utile per ricavare l'espressione della potenza nel caso di una corrente alternata di ampiezza massima I0 e pulsazione ω. In tal caso la potenza istantanea sara' data dall'espressione: 

P(t) = R*[I0 ¢ sin (ω*t)]2    (19) 

Integrando la potenza P(t) su un periodo 2¼=ω e dividendo il risultato per il periodo stesso, si ottiene l'espressione della potenza media: 

P = R*I02/2 = R*(I0/√2)2    (20)

dove il termine I0/√2 prende il nome di corrente efficace. Si ottengono allo stesso modo le relazioni in termini di differenza di potenziale:

P = ∆V2/R   (21) 

e

P = (∆V0/√2)2/R   (22) 

dove ∆V0/√2 e' la tensione efficace.

Lo scaldabagno elettrico

Dalle relazioni precedenti si ricava che, per una potenza media di 1,2kW e una tensione efficace di 220V, l'intensita' di corrente efficace dev'essere pari a:

I0 = P/∆V0 = 1,2kW/220V = 5,45A   (23)

Una quantita' d'acqua pari a 80 L, ovvero con una massa di 80 kg, ha una capacita' termica pari a:

C = 80 kg * 4,18 ¢ 103 J/(kg*K) = 3,3 ¢ 105 J/K   (24)

Per produrre una variazione di temperatura di 40 °C - 18 °C = 22 °C = 22K e' necessaria un'energia:

∆E = C* ∆T = 3,3 * 105 J/K * 22K = 7,3 MJ   (25)

Dalla (12), e tendo conto che la potenza utile e' pari al 95% di quella totale, si ricava un intervallo di tempo necessario pari a:

∆t = ∆E/Put = 7,3 MJ /(0,95*1,2kW) = 6,4*103 s  ≈ 107 min (26)

Il termostato interrompera' l'alimentazione dopo circa un'ora e quarantasette minuti. Questo intervallo di tempo e' pari a 1,78 h. L'energia consumata in kilowattora e' pertanto semplicemente 1,2kW * 1,78 h = 2,1 kWh. Dato il costo del servizio, cio' comporta una spesa di circa 27 centesimi. Di tale spesa, il 5%, pari a poco piu' di un centesimo, e' "inutile" o, meglio, e' dovuta alle dispersioni di energia.