di un moto rotatorio di un corpo esteso.
di un travaso
| Moti circolari
concentrici
dei punti di un moto rotatorio di un corpo esteso.
|
Moti dei
livelli dei
serbatoi di un travaso |
In ognuno dei casi soprastanti:
- sono illustrati 2 o piu' moti di punti
- i moti si determinano a vicenda
- tempo: sono moti
contemporanei. In particolare: la durata e' la stessa.
- spazio: le posizioni dei punti nello
stesso istante seguono una ben determinata corrispondenza geometrica, non sono a
caso
- gli spostamenti sono tra loro
proporzionali
- gli spostamenti (proprieta' equivalente alla precedente) hanno rapporto
costante
- di conseguenza il rapporto tra le
velocita' e' costante
anche se le velocita' variano
|
Calcolo il rapporto tra le velocita' nel caso di moti di ugual durata Detto a parole: |
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - s spostamento del moto circolare - R raggio del moto circolare |
||||||||||
|
Osservazione quantitativa centrale. |
d: Se un corpo, a contatto su una superficie, rotola senza strisciare,
di quanto si sposta?
r: 1 giro sposta di una lunghezza pari
al perimetro.
d: se il filo viene avvolto di 1 giro di
quanto si accorcia il filo?
r: di un una lunghezza pari al perimetro
del corpo su cui viene avvolto.
d: se un filo viene avvolto da un estremo e svolto dall'altro, di 1 giro da
entrambi, che succede?
r: il filo varia di PS-PA,
dove: PS perimetro del corpo svolgente; PA perimetro del corpo avvolgente.
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - s spostamento del livello del serbatoio - A area della sezione del serbatoio - V volume entrato o uscito dal serbatoio |
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| VB = VA | Osservazione quantitativa centrale. E' vera con le condizioni: - no entrate e uscite di altra acqua - liquido incomprimibile |
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Caso numerico. Con numeri semplici, anche se poco realistici, allo scopo di capire le formule. Ho scelto il numero 24 poiche' si puo' fattorizzare in molti modi: 24*1 = 12*2 = 8*3 = 6*4 |
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|
VA = AA* sA = 12 cm2*2cm = 24 cm3 VB = AB* sB = 6cm2*4cm = 24 cm3 |
Formula - V=Ab*h volume del cilindroide - Ab area di base - h altezza; in questo caso: lo spostamento di livello |
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| Calcolare l'effetto, data la causa. Continua nell'extra. | ||||||||||||||
extra: --------------------------------------------------------------------------------------------------
| Moti dei punti
coordinati cartesiani di un moto rettilineo di un punto nel piano
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - sx spostamento coordinato x - sxT spostamento coordinato x totale - sy spostamento coordinato y - syT spostamento coordinato y totale |
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Osservazione quantitativa centrale. | |||||||||||
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Scrittura elegante: - il minuscolo rappresenta la parte - e il maiuscolo rappresenta l'intero. |
| Calcolare l'effetto, data la causa. | ||||||||||||||
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AB*sB = AA*sA
6*4 = 12*2 |
Scegliamo come effetto: sB lo spostamento del livello del serbatoio che viene riempito. |
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Detto coi numeri:
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- rapporto tra gli spostamenti | |||||||||||||
| Moti dei punti
coordinati cartesiani di un moto rettilineo di un punto nel piano
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Moti circolari
concentrici
dei punti di un moto rotatorio di un corpo esteso.
|
Moti dei
livelli dei
serbatoi di un travaso |
In ognuno dei casi soprastanti:
- sono illustrati 2 o piu' moti di punti
- i moti si determinano a vicenda
- tempo: sono moti
contemporanei. In particolare: la durata e' la stessa.
- spazio: le posizioni dei punti nello
stesso istante seguono una ben determinata corrispondenza geometrica, non sono a
caso
- gli spostamenti sono tra loro
proporzionali
- gli spostamenti (proprieta' equivalente alla precedente) hanno rapporto
costante
- di conseguenza il rapporto tra le
velocita' e' costante
anche se le velocita' variano
|
Calcolo il rapporto tra le velocita' nel caso di moti di ugual durata Detto a parole: |
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - sx spostamento coordinato x - sxT spostamento coordinato x totale - sy spostamento coordinato y - syT spostamento coordinato y totale |
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Osservazione quantitativa centrale. | ||||||||||
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Scrittura elegante: - il minuscolo rappresenta la parte - e il maiuscolo rappresenta l'intero. |
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - s spostamento del moto circolare - R raggio del moto circolare |
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Osservazione quantitativa centrale. |
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - s spostamento del livello del serbatoio - A area della sezione del serbatoio - V volume entrato o uscito dal serbatoio |
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| VB = VA | Osservazione quantitativa centrale. E' vera con le condizioni: - no entrate e uscite di altra acqua - liquido incomprimibile |
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Caso numerico. Con numeri semplici, anche se poco realistici, allo scopo di capire le formule. Ho scelto il numero 24 poiche' si puo' fattorizzare in molti modi: 24*1 = 12*2 = 8*3 = 6*4 |
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VA = AA* sA = 12 cm2*2cm = 24 cm3 VB = AB* sB = 6cm2*4cm = 24 cm3 |
Formula - V=Ab*h volume del cilindroide - Ab area di base - h altezza; in questo caso: lo spostamento di livello |
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| Calcolare l'effetto, data la causa. | ||||||||||||||
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AB*sB = AA*sA
6*4 = 12*2 |
Scegliamo come effetto: sB lo spostamento del livello del serbatoio che viene riempito. |
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Detto coi numeri:
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d: Se un corpo, a contatto su una superficie, rotola senza strisciare,
di quanto si sposta?
r: 1 giro sposta di una lunghezza pari
al perimetro.
d: se il filo viene avvolto di 1 giro di
quanto si accorcia il filo?
r: di un una lunghezza pari al perimetro
del corpo su cui viene avvolto.
d: se un filo viene avvolto da un estremo e svolto dall'altro, di 1 giro da
entrambi, che succede?
r: il filo varia di PA-PB,
dove: PA e' il perimetro del corpo avvolgente e PB il
perimetro del corpo svolgente.
Osservazioni e variazioni
Lo studio dei moti concentrici si potrebbe fare in generale con angoli
diversi, e' la rigidita' che pone il vincolo che tutti gli angoli variano della
stessa quantita'.
Quindi considerare la tb con anche l'angolo.
| R | L | α | |
| A | RA | LA | αA |
| B | RB | LB | αB |
Gli allievi, richiesti di quali grandezze considerare, avevano proposto: la circonferenza.
Il volume del cilindro puo' essere visto staticamente, che e' il modo
standard della geometria euclidea, oppure puo' essere visto dinamicamente.
Esempio di visione dinamica: la fuoriuscita di liquido dal serbatoio di forma
cilindroide.
|
Lo spostamento del livello e': - direttamente proporzionale al volume di liquido fuoriuscito - e inversamente proporzionale all'area della sezione |
Commento: e' il primo che mi e' venuto in mente pensando allo svuotamento. |
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| V=A*s | Il volume fuoriuscito e': - direttamente proporzionale all'area della sezione - direttamente proporzionale allo spostamento di livello |
|||||||
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L'area della sezione e': - direttamente proporzionale al liquido fuoriuscito - e inversamente proporzionale allo spostamento di livello |
E' un caso piu' generale del sincronismo punto-punto di questi moti, qui la legge oraria puo' essere qualsiasi, non c'e' legame, invece nei casi considerati c'e' proporzionalita' tra gli spazi percorsi.
Supponiamo che il moto si svolga piu' velocemente, realizzando pero' gli
stessi spostamenti,
di conseguenza la durata comune diminuisce, tutte le velocita' aumentano, pero'
il loro rapporto rimane invariato.
| sB | ||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
| vB | tB | sB | tA | sB | t | sB | ||||||||
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|
= |
|
= |
|
* |
|
= |
|
* |
|
= |
|
||
| vA | sA | tB | sA | t | sA | sA | ||||||||
|
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| tA | ||||||||||||||
Commento: qui viene sviluppato il calcolo usando la regola di sviluppo della frazione di frazione.
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Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - R raggio del moto circolare - L lunghezza dell'arco di circonferenza |
| LB | LA | |
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|
= |
|
| RB | RA |
| LB | RB | |
|
|
= |
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| LA | RA |
In ognuno dei casi soprastanti:
- sono illustrati 2 o piu' moti di punti
contemporanei,
in particolare: la durata e' la stessa.
- le posizioni seguono una ben
determinata corrispondenza, non sono a caso
- gli spostamenti sono tra loro
proporzionali
- gli spostamenti hanno rapporto
costante
- di conseguenza il rapporto tra le
velocita' e' costante
anche se le velocita' variano
|
Grandezze per lo studio, organizzate in tabella. - sx spostamento coordinato x - sxT spostamento coordinato x totale - sy spostamento coordinato y - syT spostamento coordinato y totale |
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Osservazione quantitativa centrale. | ||||||||||
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Scrittura elegante: - il minuscolo rappresenta la parte - e il maiuscolo rappresenta l'intero. |
Compito in classe n. 4 del 2003-2004
| Moto dei livelli dei
serbatoi durante un travaso |
Moto rotatorio
di un corpo esteso e moti circolari concentrici dei suoi punti |
Moto dei punti
coordinati cartesiani durante il moto rettilineo del punto nel piano
|
Confronto= uguaglianze + diversita'
In tutti i casi:
- i moti sono: contemporanei
- il rapporto tra le velocita' e'
costante,
anche se le velocita' variano
poiche' il rapporto tra gli
spostamenti e' sempre quello (cioe' costante)
Moto: tempo, spazio, velocita', accelerazione.
| sistema, formula con le grandezze del sistema |
* | / | / |
|---|---|---|---|
| moto uniforme spostamento= velocita'*tempo |
s=v*t | v=s/t | t=s/v |
| sistema astratto con 2 variabili direttamente proporzionali |
y=k*x | k=y/x | x=y/k |
| area rettangolo area= base*altezza |
A=b*h | b=A/h | h=A/b |
| numerico | 15=5*3 | 5=15/3 | 3=15/5 |
Un modo per confrontare 2 moti.
| sB | |||||||
|
|
|||||||
| vB | tB | sB | tA | ||||
|
|
= |
|
= |
|
* |
|
|
| vA | sA | tB | sA | ||||
|
|
|||||||
| tA |
