^^∑ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ...  = +∞   serie armonica.

1  +  1

2

  +  1
3		  +  1
4		  +  1
5		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   1
n		      

serie armonica
                               
1  +  1

22

  +  1
32		  +  1
42		  +  1
52		  + ... ≡  ∑
n≥1		   1
n2		  

∑ 1/n²  Basel problem
                               
1  +  1

2s

  +  1
3s		  +  1
4s		  +  1
5s		  + ... ≡  ∑
n≥1		   1
ns		  

ζ(s) Zeta function

 

serie armonica ≡ serie dei reciproci (=def) serie della successione 1/n.

 

1  +  1

2

  +  1
3		  +  1
4		  +  1
5		  +  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		  
1
n
        serie armonica
                                     
1  -  1

2

  +  1
3		  -  1
4		  +  1
5		  -  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   -(-1)n 1
n		   serie armonica
a segni alterni

 

1  +  1

2

  +  1
3		  +  1
4		  +  1
5		  +  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		  
1
n
    =    +∞
                                     
1  -  1

2

  +  1
3		  -  1
4		  +  1
5		  -  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   -(-1)n 1
n		   =    ln(2)

 

La serie armonica ha somma infinita !!!

Una somma di numeri tendenti a zero, puo' diventare infinita ! Interessante da capire !

Arrivo: Quanto e' alta la pila?

dim: (letterale e concisa, piu' avanti una numerica e distesa)

Spezziamo la serie in tanti pezzi, abbastanza lunghi da essere maggiori di un fissato valore. Fissato un valore qualsiasi 1/n, la somma dei successivi n numeri, fino a 1/(2n), e':

  1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n)  
>  1/(2n) + 1/(2n) + ... + 1/(2n)         = (1/(2n))*n = 1/2

la prima serie e' maggiore poiche' ogni singolo addendo e' maggiore.

 

Leo: Ho qualche dubbio sulla dim.

Capisco il procedimento, ma non capisco bene cosa implichi/quali siano le conseguenze/cosa dimostra. Io la ho pensato come in allegato.

E' corretta la mia interpretazione? Oppure vi è una conseguenza più diretta che non vedo?

Risposta di Rob

Come premesso, la dimostrazione proposta era "concisa letterale" e lasciava al lettore trarre conseguenze, che e' cio' che hai fatto, e che e' la necessita' per continuare il "gioco" del batti e ribatti che ci permette di calibrare il linguaggio per comunicare sempre piu' efficacemente efficientemente. Nella fase di calibrazione del linguaggio ci vuole pazienza.

 

L'interpretazione nel caso numerico presentato e' corretta.

E' corretto come mimi il linguaggio che ti e' stato proposto per la serie-somma  = +∞.

E' corretto intuitivamente quello che dici poi.

Manca un passo: farlo diventare "formalmente corretto".

 

Il mio era un tentativo di stimolarti a formalizzare:

Questi concetti-forme si possono inventare, ma anche recuperare dalle fonti di informazioni. Cio' che e' importante che tu capisca, e' pero' che per diventare padrone del formalismo, ad un certo punto dovrai imparare a inventare le definizioni formali ed i formalismi.

Come si fa a fare da se'? In generale, leggi Dimostrare applicando un criterio. Fill in the demonstration.

Quanto detto e' per capire che sei sulla strada buona. Abbiamo fatto un altro pezzetto di formalizzazione, ma non e' ancora un alto grado di formalizzazione, necessario all'universita' di fisica.

 

Prova a Dimostrare

Teo: Una successione crescente che ha una sottosuccessione  → +∞, anch'essa  → +∞.

Definizione formale: Limite di una successione.

 

Il senso della dimostrazione che ho proposto. Detto esplicito, niente di nascosto, oppure era cio' che c'era di nascosto.

Sono possibili piu' dimostrazioni, come si puo' vedere in Harmonic_series_(mathematics). Non ho fatto la dimostrazione che hai fatto tu, col quale hai dato senso alla mia, proprio perche' e' piu' generale-adattabile, e l'esperienza mi dice che per sviluppare la capacita' di inventare dimostrazioni, e' bene ricercare ed abituarsi a questo tipo di dimostrazioni. Faccio economia: imparo una dimostrazione che mi da' anche spunti per altri, e non una valida solo per il caso specifico.

Fa anche capire bene questo fatto:

dim: un caso numerico della dimostrazione letterale

Considero la successione 1/n. Considero un numero "in là" nella successione, n grande, 1/n piccolo, qualunque esso sia. Inizio a cumulare dal successivo. Parto dal piccolo e cumulo numeri sempre piu' piccoli, cio' non ostante, perseverando .... ad es partendo da n=1000

 

1   1       1   1              
+
+ ... +
+
= Somma  di 1000 addendi
1000+1   1000+2       1000+999   1000+1000              
                               
≥   ≥       ≥   ≥   ≥          
                               
1   1       1   1       1     1
+
+   +
+
= P =
*1000 =
2000   2000       2000   2000       2000     2

 

n=735

1   1       1   1              
+
+ ... +
+
= Somma  di 735 addendi
735+1   735+2       735+734   735+735              
                               
≥   ≥       ≥   ≥   ≥          
                               
1   1       1   1       1     1
+
+   +
+
= P =
*735 =
735*2   735*2       735*2   735*2       735*2     2

 

Quindi in qualunque punto mi trovi nella successione, davanti a me posso sommare un pezzo che incrementa il mio gruzzolo di 1/2. Quindi la successione:

 

Links

  1. wp/Harmonic_series_(mathematics)
  2. wp/Harmonische_Reihe
  3. wp/Série_harmonique  Calcolo numerico dei termini, sequenza potenze di 10.

 

 

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Alter espo

 

c: in riga

 

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...  =  ∞

 

      1   1   1   1   1   1   1  
      1   +  
  +  
  +  
  +  
  +  
  +  
  +  
   +   ...   =  ∞
      2   3   4   5   6   7   8  

 

      1   1   1       1  
      1   +  
  +  
  +  
  +   ...   +  
  +  ...   = +∞
      2   3   4       n  

 

1  +  1

2

  +  1
3		  +  1
4		  +  1
5		  +  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   1
n		       serie armonica
                                   
1  -  1

2

  +  1
3		  -  1
4		  +  1
5		  -  1
6		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   1
n		       serie armonica
a segni alterni