^^Prodotto cartesiano di 2 insiemi.

XxY  leggesi:  "X cartesiano Y"  prodotto cartesiano di 2 insiemi X e Y

                       X primo insieme, cosiddetto per la posizione

                       Y secondo insieme

prodotto cartesiano di 2 insiemi

l'insieme delle coppie ordinate in cui

Le coppie ordinate del prodotto cartesiano
si possono costruire con la Tabella di combinazione.

o pensando alla Proprieta' distributiva

X={a,b,c}  Y={d,e,f,g}

      d     e     f     g
a   (a,d) (a,e) (a,f) (a,g)
b (b,d) (b,e) (b,f) (b,g)
c (c,d) (c,e) (c,f) (c,g)

 

il nome dei simboli nell'astratto della costruzione delle coppie, e' irrilevante, poiche' posso sempre ridenominare, e conviene numerare

X={1,2,3}  Y={1,2,3,4}

      1     2     3     4
1   (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

e' la ridenominazione del precedente.

Stile piano cartesiano

X={1,2,3}  Y={1,2,3,4}

4  (1,4) (2,4) (3,4)
3   (1,3) (2,3) (3,3)
2   (1,2) (2,2) (3,2)
1 (1,1) (2,1) (3,1)
   1  2  3

In generale  X={a1,a2,...,an}  Y={b1,b2,...,bm},

      b1     b2     ...     bm
a1   (a1,b1) (a1,b2)   (a1,bm)
a2 (a2,b1) (a2,b2)   (a2,bm)
...        
an (an,b1) (an,b2)   (an,bm)

 

X={a, b, c},  Y={4, $} 

      4     $
a   (a,4) (a,$)
b (b,4) (b,$)
c (c,4) (c,$)

XxY := { (a,4), (a,$), (b,4), (b,$), (c,4), (c,$) }

 

Caso particolare X=Y

XxY = XxX ≡ X2

X={4, $}

      4     $
4   (4,4) (4,$)
$ ($,4) ($,$)

XxX ≡ X2 := {(4,4), (4,$), ($,4), ($,$)}

Piano cartesiano ℕxℕ

il piano cartesiano e' un prodotto cartesiano

 

...                    
9 (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) (9,9)  
8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8) (9,8)  
7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) (9,7)  
6   (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6)  
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5)  
4  (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4)  
3   (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3)  
2   (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)  
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)  
   1  2  3  4  5  6  7  8  9 ...   

Piano cartesiano  ℝxℝ ≡ ℝ2 := {(x,y): x,y∈ℝ }

in questo caso il nr di elementi e' infinito, quindi la tb non si puo' materialmente scrivere, ma si puo' pensare e descrivere, quindi il procedimento del prodotto cartesiano resta logicamente valido.

Teo:  |XxY| = |X|*|Y|

il modulo del prodotto cartesiano e' uguale al prodotto dei moduli dei fattori.

es: X={1,2,3}  Y={1,2,3,4}

      1     2     3     4
1   (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
|X|=3 |Y|=4  |X|*|Y|=3*4=15  

|XxY|=15 sia contando con la "regola della moltiplicazione per la disposizione a rettangolo", sia con conteggio diretto 1 ad 1.

Links

  1. Proprieta' distributiva (della moltiplicazione rispetto alla somma).
  2. Funzione da un insieme ad un altro

 

 

Approfond

Il prodotto cartesiano di 2 insiemi esiste per assioma

Per definire un insieme di coppie ordinate, si tratta di applicare il procedimento generale di "Definizione di un insieme"  al caso particolare in considerazione.

Nel caso specifico pero' non esiste un insieme da cui ricavare il prodotto cartesiano tramite una selezione, quindi nella teoria assiomatica l'esistenza del prodotto cartesiano di 2 insiemi e' assicurata come assioma.

 

Stile piano cartesiano, iniziando da 0

X={0,1,2}  Y={0,1,2,3}

3   (0,3) (1,3) (2,3)
2   (0,2) (1,2) (2,2)
1 (0,1) (1,1) (2,1)
0 (0,0) (1,0) (2,0)
   0  1  2

 

9 (0,9) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) (9,9)
8 (0,8) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8) (9,8)
7 (0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) (9,7)
6   (0,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6)
5 (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5)
4  (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4)
3   (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3)
2   (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)
1 (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)
0 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0)
   0  1  2  3  4  5  6  7  8  9