^^Geometria 3D tridimensionale. Inizio.
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Assiomi geometria 3D
postulato: ∃ 4 punti non complanari.
Titolo: ∃ lo spazio 3D.
Poi ci sono questioni piu' complesse del tipo:
- dato un qualsiasi piano, ∃ sempre almeno un punto al di fuori di esso?
R: pensavo fosse difficile, invece: si, altrimenti tutti i punti dello
spazio sarebbero complanari, contrariamente al postulato.
p: Per 3 punti non allineati passa 1 ed 1 solo piano
= passa almeno 1 piano, e al massimo 1 piano.
Se 2 piani coincidono in 3 punti non allineati, allora sono lo stesso piano.
Titolo: Esistenza e unicita' dei piani nello spazio 3D.
p: Se 2 punti di una retta stanno su un piano, allora tutta la retta ci sta.
E' la condizione di appartenenza di una retta ad un piano.
p: L'intersezione di 2 piani e' una retta
In particolare non e' una curva.
Teoremi
Teo: per una retta ed un punto esterno, passa 1 ed 1 solo piano.
dim:
2 rette parallele determinano un piano
non so se assiomi o teo
Fatti
Le rette parallele a un piano, non sono in generale parallele tra loro.
Teo In un parallelepipedo le quattro diagonali passano per un medesimo
punto, che divide ciascuna di esse per metà.
ppd anche non retto.
Teo la somma degli angoli 2D attorno ad un vertice e' < angolo giro.
Costruire percorso apprendimento geo 3D
es:
indire/alla-conquista-dello-spazio
mie idee
- sono contrario a un percorso stretto, come mi invece mi pare
indire/alla-conquista-dello-spazio.
- Partire da cio' che gia' si sa
- le squadre da disegno hanno 2 lati perpendicolari, ma non riescono a
disegnare una perpendicolare a un piano, sono "squadre 2D", occorre una
"squadra 3D"
- usuali in meccanica delle costruzioni.
- in essenza: un cubo poggiato su un piano: gli spigoli che emergono
dal piano sono perpendicolari al piano
- 3 quadrati uniti fanno 3 spigoli di un cubo
- Una retta perpendicolare al piano e' ppnd a tutte le rette del
piano; e' sufficiente che sia ppnd a 2 per esserlo a tutte.
- 4 cubi su un piano
- il sistema di riferimento cartesiano 3D. 8 cubi, ottanti.
- un reticolo 2D --> reticolo 3D
sezione normale di un diedro il piano che seziona il
diedro deve essere perpendicolare allo spigolo del diedro.
Analogia tra angolo 2D e diedro: "il diedro e' un angolo2D estruso".
Che cos'è l'analogo della bisettrice di un angolo?
Il "semipiano bisettore" del diedro.
Approfond
p: gli ottanti sono 8, risultato di ispezione. Calcolare il loro numero con
procedimento combinatorio
dim: la prima idea e' che
- ogni ottante e' definito da 3 semirette, e quindi devo calcolare in nr
di combinazioni di 3 semirette.
- Le semirette in tutto sono 6.
- Il nr di combinazioni di 3 elementi presi tra 6, e' il caso di
interesse.
- Il nr di combinazioni di k elementi presi tra n in generale.
- 6*5*4/3! = 120/6 = 20 c''e' qualcosa di errato nel
ragionamento.
Quali sono i punti questionabili (discutibili)
n.1: 3 semirette qualsiasi no: no semirette opposte
n.3: cos'ha di sbagliato?
R: e' che scelta la 1a semiretta tra 6, le altre sceglibili non sono 5,
poiche' non posso scegliere la semiretta opposta, quindi posso scegliere solo
tra 4, e la questione si ripete, non posso scegliere tra 3, ma tra 2
6*4*2/3! = 48/6 = 8 esatto.
Caso n=4
(2*4)(2*3)(2*2)(2*1) / 4! = 2⁴*4! / 4! =
2⁴
Altro modo di calcolo
n=3 (+/-, +/-, +/-)
n=4 (+/-, +/-, +/-, +/-)
- ogni retta viene sempre considerata, o con una semiretta o con l'altra
- si puo' contare i casi con un una n-pla in cui ogni posto puo' avere 2
valori
- il conto e' 2ⁿ