^^Geometria 3D tridimensionale. Inizio.

 

 

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Assiomi geometria 3D

postulato: ∃ 4 punti non complanari.

Titolo: ∃ lo spazio 3D.

Poi ci sono questioni piu' complesse del tipo:

R: pensavo fosse difficile, invece: si, altrimenti tutti i punti dello spazio sarebbero complanari, contrariamente al postulato.

p: Per 3 punti non allineati passa 1 ed 1 solo piano

= passa almeno 1 piano, e al massimo 1 piano.

Se 2 piani coincidono in 3 punti non allineati, allora sono lo stesso piano.

Titolo: Esistenza e unicita' dei piani nello spazio 3D.

p: Se 2 punti di una retta stanno su un piano, allora tutta la retta ci sta.

E' la condizione di appartenenza di una retta ad un piano.

p: L'intersezione di 2 piani e' una retta

In particolare non e' una curva.

 

 

Teoremi

Teo: per una retta ed un punto esterno, passa 1 ed 1 solo piano.

dim:

 

2 rette parallele determinano un piano

 

 

non so se assiomi o teo

 

 

 

 

Fatti

Le rette parallele a un piano, non sono in generale parallele tra loro.

Teo In un parallelepipedo le quattro diagonali passano per un medesimo punto, che divide ciascuna di esse per metà.

ppd anche non retto.

Teo la somma degli angoli 2D attorno ad un vertice e' < angolo giro.

Costruire percorso apprendimento geo 3D

es:

indire/alla-conquista-dello-spazio

mie idee

  1. sono contrario a un percorso stretto, come mi invece mi pare indire/alla-conquista-dello-spazio.
  2. Partire da cio' che gia' si sa
  3. le squadre da disegno hanno 2 lati perpendicolari, ma non riescono a disegnare una perpendicolare a un piano, sono "squadre 2D", occorre una "squadra 3D"
    1. usuali in meccanica delle costruzioni.
    2. in essenza: un cubo poggiato su un piano: gli spigoli che emergono dal piano sono perpendicolari al piano
    3. 3 quadrati uniti fanno 3 spigoli di un cubo
    4. Una retta perpendicolare al piano e' ppnd a tutte le rette del piano; e' sufficiente che sia ppnd a 2 per esserlo a tutte.
    5. 4 cubi su un piano
  4. il sistema di riferimento cartesiano 3D. 8 cubi, ottanti.
  5. un reticolo 2D  -->  reticolo 3D

 

sezione normale di un diedro   il piano che seziona il diedro deve essere perpendicolare allo spigolo del diedro.

Analogia tra angolo 2D e diedro: "il diedro e' un angolo2D estruso".

Che cos'è l'analogo della bisettrice di un angolo?

Il "semipiano bisettore" del diedro.

 

 

 

Approfond

p: gli ottanti sono 8, risultato di ispezione. Calcolare il loro numero con procedimento combinatorio

dim: la prima idea e' che

  1. ogni ottante e' definito da 3 semirette, e quindi devo calcolare in nr di combinazioni di 3 semirette.
  2. Le semirette in tutto sono 6.
  3. Il nr di combinazioni di 3 elementi presi tra 6, e' il caso di interesse.
  4. Il nr di combinazioni di k elementi presi tra n in generale.
  5. 6*5*4/3!  = 120/6 = 20  c''e' qualcosa di errato nel ragionamento.

Quali sono i punti questionabili (discutibili)

n.1:  3 semirette qualsiasi no: no semirette opposte

n.3:  cos'ha di sbagliato?

R: e' che scelta la 1a semiretta tra 6, le altre sceglibili non sono 5, poiche' non posso scegliere la semiretta opposta, quindi posso scegliere solo tra 4, e la questione si ripete, non posso scegliere tra 3, ma tra 2

6*4*2/3! = 48/6 = 8  esatto.

Caso n=4

(2*4)(2*3)(2*2)(2*1) / 4!   =  2⁴*4! / 4!    =    2⁴

Altro modo di calcolo

n=3 (+/-, +/-, +/-)

n=4 (+/-, +/-, +/-, +/-)

  1. ogni retta viene sempre considerata, o con una semiretta o con l'altra
  2. si puo' contare i casi con un una n-pla in cui ogni posto puo' avere 2 valori
  3. il conto e' 2ⁿ