^^Geometria quadratica. Trigonometria quadratica.

 

Rational trigonometry. Trigonometria razionale.

visione diversa della trigonometria, ma logicamente equivalente, basata su 2 idee base

quadranza  corrisponde alla distanza al quadrato

spread        corrisponde al quadrato del seno definito come rapporto tra quadranze del cateto opposto e dell'ipotenusa, usato al posto dell'angolo per misurare la separazione tra le rette.

Qual e' il vantaggio? Tutto e' calcolabile algebricamente a partire dalle coordinate.

Occa: nelle rette che si intersecano, lo spread dei 4 angoli sono uguali, quindi lo spread codifica la figura "intersezione di 2 rette", non quale spicchio.

 

 

Trigonometria quadratica Trigonometria standard

Triple quad formula

The three points A1, A2 and A3 are collinear (meaning they all lie on a single line) precisely when


(Q1+Q2+Q3)˛ = 2(Q1˛+Q2˛+ Q3˛)

 

 

Pythagoras’ theorem

The lines A1A3 and A2A3 are perpendicular precisely when
Q1 + Q2 = Q3
 

 

Spread law

s1   s2   s3

=
=
Q1   Q2   Q3

 (non-zero quadrances)

Legge dei seni

Cross law

(Q1+Q2-Q3)˛ = 4Q1Q2(1−s3)

 

define the cross c3 ≡ 1−s3, then

(Q1+Q2-Q3)˛ = 4Q1Q2c3

 

dati i lati, ricavare gli angoli
 

Teorema del coseno

 

Triple spread formula

(s1+s2+s3)˛ = 2(s1˛+s2˛+ s3˛) + 4s1s2s3

 

s3˛ + 2(2s1s2-s1-s2)s3 + (s1-s2)˛ = 0

 

dati 2 angoli, ricavare il 3°

 

Implicit: For any triangle A1A2A3

 

β + arcsen(cosβ) = 90° ?

Triple spread formula. Rivolto

For any triangle A1A2A3
(s1 + s2 + s3)˛ = 2(s1˛+s2˛+ s3˛) + 4s1s2s3

2s1s2 +2s1s3 + 2s2s3  = s1˛+s2˛+ s3˛ + 4s1s2s3

s3˛  + (4s1s2-2s1-2s2)s3  +s1˛+s2˛ -2s1s2

s3˛ + (4s1s2-2s1-2s2)s3 + (s1-s2)˛ = 0

s3˛ + 2(2s1s2-s1-s2)s3 + (s1-s2)˛ = 0

 

Links

  1. Trigonometria Old Babylonian.
  2. Una forma bilineare simmetrica e' determinata dalla sua forma quadratica.
  3. https://phys.org/news/2005-09-trigonometry.html
  4. sito autore http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm
  5. dove ho trovato il libro: https://www.researchgate.net/publication/266738365_Divine_Proportions_Rational_Trigonometry_to_Universal_geometry
    1. wp/Divine_Proportions:_Rational_Trigonometry_to_Universal_Geometry
    2. johndcook/rational-trigonometry
  6. Altro suo libro https://www.researchgate.net/publication/284572258_An_Introduction_to_Rational_Trigonometry_and_Chromogeometry
  7. yt/Ancient Babylonian tablet - world's first trig table