^^Elementi di geometria di Euclide. Grundlagen der Geometrie di Hilbert.
Elementi di geometria, di Euclide.
“Uno dei più grandi libri che siano mai stati scritti” (B. Russell)
"E' il testo piu' importante di tutta la scienza, come il vangelo per i
cristiani" (Roberto Occa), pero' non e' stato rispettato dai matematici, poiche'
invece che scrivere commenti, come per es oggi in Italia per la Divina Commedia,
od i Promessi sposi, ognuno li ha sostituiti con il proprio testo.
Testo assiomatico
Gli Elementi sono
- il primo esempio di testo assiomatico.
- molti risultati geometrici originali di Euclide
- l'integrazione del sapere matematico precedente, presentato in forma
assiomatica
Il sistema primitivo a partire dal quale tutto il resto si sviluppa tramite
dimostrazioni, e' cosi' organizzato:
- definizione degli enti fondamentali (punto, retta, angolo, ecc.),
seguono
- i 5 postulati,
- le 5 nozioni comuni o assiomi.
Dal punto di vista moderno:
- in alcune dimostrazioni ci sono assunzioni che non compaiono nel sistema
primitivo.
- Le definizioni non sono altro che descrizioni intuitive. Saranno solo i
postulati, ad intervenire nella successiva trattazione matematica. Come
sottolineato da David Hilbert: ogni ragionamento sviluppato
all'interno della geometria euclidea deve rimanere valido anche se si
sostituiscono a punto e
retta due altri nomi qualunque, come "tavolo''
e "sedia''.
Criticism ref:
wp
- Euclid's list of axioms in the Elements was not exhaustive, but
represented the principles that were the most important.
- His proofs often invoke axiomatic notions which were not originally
presented in his list of axioms. Later editors have interpolated Euclid's
implicit axiomatic assumptions in the list of formal axioms.
For example,
- in the first construction of Book 1, Euclid used a premise that was
neither postulated nor proved: that two circles with centers at the distance
of their radius will intersect in two points.
- Later, in the fourth construction, he used superposition (moving the
triangles on top of each other) to prove that if two sides and their angles
are equal, then they are congruent; during these considerations he uses some
properties of superposition, but these properties are not described
explicitly in the treatise. If superposition is to be considered a valid
method of geometric proof, all of geometry would be full of such proofs. For
example, propositions I.1 – I.3 can be proved trivially by using
superposition.
Mathematician and historian W. W. Rouse Ball put the criticisms in
perspective, remarking that "the fact that for two thousand years [the Elements]
was the usual text-book on the subject raises a strong presumption that it is
not unsuitable for that purpose."[27]
Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for
geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert, George
Birkhoff, and Tarski.
Links inet
Sono parecchi i siti dedicati a Euclide
- BookI
un tipo un po' incazzato
Grundlagen der Geometrie, di Hilbert.
http://www.archive.org/details/thefoundationsof17384gut
la versione pdf e' la migliore.