secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann.
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Il calcolo geometrico, in generale, consiste in un sistema di operazioni a
eseguirsi su enti geometrici, analoghe a quelle che l'algebra fa sopra i numeri.
Esso permette di esprimere con formule i risultati di costruzioni geometriche,
di rappresentare con equazioni proposizioni
di geometria, e di sostituire una trasformazione di equazioni ad un
ragionamento. Il calcolo geometrico presenta analogia colla geometria analitica;
ne differisce in ciò, che, mentre nella geometria analitica i calcoli si fanno
sui numeri che determinano gli enti geometrici, in questa nuova scienza i
calcoli si fanno sugli enti stessi.
nel corrente secolo poi furono proposti e sviluppati varii metodi di calcolo, aventi utilità pratica, fra cui meritano menzione speciale
Di questi varii metodi l'ultimo citato comprende in gran parte gli altri, e li supera nella potenza del calcolo, e nella semplicità delle formule. Ma i concetti troppo elevati ed astrusi contenuti nell'Ausdehnungslehre impedirono la diffusione di questa scienza; e quindi anche le sue applicazioni alla geometria sono ancora pochissimo note ai matematici.
Lo scopo del presente libro è di esporre direttamente, e sotto forma accessibile
a chiunque conosca i fondamenti della geometria e dell'algebra, un calcolo
geometrico, basato su alcune notazioni contenute nell'Ausdehnungslehre, e di
svilupparne le principali conseguenze.
Gli enti geometrici, su cui si eseguiscono, in questo opuscolo, i calcoli,
sono le formazioni geometriche di 1ª, 2ª, 3ª e 4ª specie (N. 5).
Le operazioni che su esse si fanno nei cap. I-IV sono:
a) somma di due formazioni della stessa specie (N. 9);
b) prodotto d'una formazione per un numero (N. 9);
e) prodotto progressivo, o proiezione, di due formazioni (N. 10).
Nei cap. V-VII sono ancora introdotte:
d) le operazioni indicate coi segni l e |, a eseguirsi
rispettivamente sui vettori d'un piano fìsso (N. 40), e sui vettori e bivettori dello spazio (N. 52);
e) il prodotto regressivo, o intersezione, di formazioni (N. 44, 51, 57, 58).
Le definizioni introdotte per le formazioni di 4ª specie, o volumi, sono
già comuni in geometria analitica; le definizioni per le formazioni delle tre
prime specie sono ridotte con metodo uniforme a quelle date pei volumi (N. 6,
7).
Il calcolo sulle formazioni di 1ª specie (punti con coefficienti numerici e
vettori) è identico al calcolo baricentrico di Mobius; la riduzione d'una
formazione di 1ª specie alla forma più semplice (cap. II) coincide colla
determinazione del baricentro di più punti materiali ; quella speciale dei
vettori colla composizione delle traslazioni.
I concetti di linea, bivettore, formazione di 2ª specie, corrispondono
esattamente alle espressioni forza, coppia, sistema di forze applicate ad un
corpo rigido, della Meccanica.
Le formazioni di 3ª specie non hanno il loro corrispondente nella Meccanica.
Le formazioni di 1ª specie, quelle di 2ª prodotti di due formazioni di 1ª
specie, e le formazioni di 3ª specie corrispondono pure, a meno d'un fattore
numerico, a ciò che in geometria proiettiva
chiamasi punto, retta, piano; il vettore, bivettore e trivettore corrispondono
al punto, retta e piano all'infinito.
Le formazioni geometriche e le operazioni su esse qui esposte sono tutte
contenute nell'Ausdehnungslehre. Però credo del tutto nuove le definizioni qui
date, il modo di trattazione, e molte formule.
Col capitolo VII può considerarsi terminata la parte elementare del calcolo
geometrico sviluppato in questo opuscolo. Il lettore arrivato a questo punto, e
presa cognizione delle applicazioni che seguono i varii capitoli, può vedere
tutta la fecondità e semplicità di questa nuova analisi.
Nel capitolo successivo trovansi applicati alle formazioni geometriche i
concetti del calcolo infinitesimale, ed enunciati i teoremi relativi, in gran
parte nuovi (6). L'ultimo capitolo tratta
sommariamente delle trasformazioni dei sistemi lineari in generale e delle
formazioni geometriche in particolare. Lo sviluppo ulteriore delle questioni
accennate in questi due capitoli mi avrebbe fatto varcare i limiti propostimi.
Il calcolo geometrico è preceduto da un'introduzione che tratta delle operazioni
della logica deduttiva ; esse presentano grande analogia con quelle
dell'algebra, e del calcolo geometrico.
La logica deduttiva, la quale fa parte delle scienze matematiche, non ha
finora molto progredito, benché sia stata oggetto degli studii di Leibniz,
Hamilton, Cayley, Boole, H. e E. G-rassmann,
Schròder, ecc. (7). Le poche questioni trattate in questa introduzione
costituiscono già un insieme organico, che può servire in molte ricerche.
Parecchie delle notazioni qui introdotte sono adoperate nel calcolo geometrico.
Sarei lieto delle mie fatiche nello scrivere questo libro (e questa sarà l'unica
ricompensa ch'io ne aspetti), se esso servirà a divulgare fra i matematici
alcune delle idee del Grassmann. È però mia
opinione che, fra non molto tempo, questo calcolo geometrico, o qualche cosa di
analogo, si sostituirà a metodi attualmente in uso nell'insegnamento superiore.
È ben vero che lo studio di questo calcolo, come di ogni altra scienza richiede
un tempo ; ma non credo che esso superi
quello necessario allo studio, p. e., dei fondamenti della geometria analitica;
e allora lo studioso si troverà in possesso d'un metodo che comprende quello
della geometria analitica come caso particolare, che ne è assai più potente, e
che si presta in modo meraviglioso allo studio
delle applicazioni geometriche dell'analisi infinitesimale, della meccanica e
della statica grafica; anzi alcune parti di tali scienze sarebbero già note a
chi fosse in possesso di questo calcolo. Ai Professori, e specialmente a quelli
di Geometria analitica, spetta il giudizio su questa mia opinione.
Ringrazio infine il dott. F. Castellano, prof. all'Accademia Militare, per
l'aiuto prestatomi nella correzione delle stampe.
Torino, 1° febbraio 1888.
G. PEANO.