^^"Elementi" di Euclide come testo assiomatico.

Testo assiomatico

Gli Elementi sono

• il primo esempio di testo assiomatico.

Il sistema primitivo a partire dal quale tutto il resto si sviluppa tramite dimostrazioni, e' cosi' organizzato:

1. definizione degli enti fondamentali (punto, retta, angolo, ecc.)
2. i 5 postulati
3. le 5 nozioni comuni.

Dal punto di vista moderno:

• Le definizioni non sono altro che descrizioni intuitive. Saranno solo i postulati, ad intervenire nella successiva trattazione matematica.

Come sottolineato da David Hilbert: ogni ragionamento sviluppato all'interno della geometria euclidea deve rimanere valido anche se si sostituiscono a "punto" e "retta" due altri nomi qualunque, come "tavolo'' e "sedia''.

In alcune dimostrazioni di Euclide ci sono affermazioni non giustificate

ref:  Criticism-wikipedia

dal punto di vista di una moderna teoria assiomatica

• l'elenco degli assiomi di Euclide e' incompleto

Come commentare il difetto?

• forse alcune proprieta' erano cosi' scontate da non meritare di essere elencate tra gli assiomi, dove sono stati messi solo i princìpi ritenuti piu' rilevanti
• non sapremo mai esattamente che idee aveva in testa Euclide, e' nella nostra che ne nasceranno

Come comportarci?

Mathematician and historian W. W. Rouse Ball put the criticisms in perspective, remarking that "the fact that for two thousand years [the Elements] was the usual text-book on the subject raises a strong presumption that it is not unsuitable for that purpose."

robertoOcca: condivido.

Come "aggiustare" ?

Io penso che nelle definizioni degli Elementi ci sono info che nella visione assiomatica odierna dovrebbero essere considerati postulati.

Si potrebbe cercare di indicare un "aggiustamento-completamento" cercado di rispettare il piu' possibile il suo pensiero.

Esempi di affermazioni non giustificate

1. in the first construction Euclid used a premise that was neither postulated nor proved
   • two circles with centers at the distance of their radius will intersect in two points.
2. in the fourth construction Euclid used superposition (moving the triangles on top of each other) to prove that if two sides and their angles are equal, then they are congruent; during these considerations he uses some properties of superposition, but these properties are not described explicitly in the treatise. If superposition is to be considered a valid method of geometric proof, all of geometry would be full of such proofs. For example, propositions I.1 – I.3 can be proved trivially by using superposition.

Axiomatic systems for euclidean geometry

many have been proposed, the best known

• 1882 Moritz Pasch, wp/Assioma_di_Pasch, the first
• Hilbert Grundlagen der Geometrie di Hilbert.
• George Birkhoff, Tarski.

Elenco di quelli che sembrano essere assiomi mancanti

Other Axioms introduced after Euclid's time   Hardy p232