Sviluppo in serie di potenze | Calcolo del coefficiente tramite derivazione | |||||||||
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f(x)= ∑ an*xn |
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ho voluto porre questa forma da memorizzare, per economia, poiche' coincide con un'altra forma piu' generale: lo sviluppo in serie di potenze di una funzione qualsiasi. Il polinomio e' lo sviluppo in serie di potenze di se' stesso.
dim:
f(x)= ∑ an*xn | derivazione ripetuta
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f(n)(0)= n!*an | la derivata n-esima del polinomio, calcolata in 0 | |||||||||
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ricavo il coefficiente | |||||||||
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scritto tutto in un'unica formula. Io me lo ricordo meglio spezzato in 2 parti, come ho proposto. Una cosa e' lo sviluppo in serie, una seconda e' il calcolo dei coefficienti. |
Dimostrazione basata su: D xn = n*xn-1 D(n) xn = n! D(n) an*xn = n!*an
si possono scrivere i coefficienti in modo tale che compaiano i valori delle derivate
1 | ||
f(x)= ∑ |
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*an*xn an=f(n)(0) |
n! |
f(x)=a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 + a5*x5 + a6*x6 + a7*x7 + a8*x8 + a9*x9 + ...
f(0)=a0 | f(x)= | a0 | a1*x | a2*x2 | a3*x3 | a4*x4 | a5*x5 | a6*x6 | a7*x7 | |
f'(0)=a1 | f'(x)= | 0 | a1 | 2*a2*x | 3*a3*x2 | 4*a4*x3 | 5*a5*x4 | 6*a6*x5 | 7*a7*x6 | |
f"(0)=2*a2 | f"(x)= | 0 | 2*a2 | 3*2*a3*x | 4*3*a4*x2 | 5*4*a5*x3 | 6*5*a6*x4 | 7*6*a7*x5 | ||
f(3)(0)=3!*a3 | f(3)(x)= | 0 | 3!*a3 | 4!2*a4*x | 5!3*a5*x2 | 6!4*a6*x3 | 7!5*a7*x4 | |||
f(4)(0)=4!*a4 | f(4)(x)= | 0 | 4!*a4 | 5!2*a5*x | 6!3*a6*x2 | 7!4*a7*x3 | ||||
f(5)(0)=5!*a5 | f(5)(x)= | 0 | 5!*a5 | 6!2*a6*x | 7!3*a7*x2 | |||||
f(6)(0)=6!*a6 | f(6)(x)= | 0 | 6!*a6 | 7!2*a7*x | ||||||
f(7)(0)=7!*a7 | f(7)(x)= | 0 | 7!*a7 | |||||||
f(8)(x)=0 | 0 |
Notazione privata mia: 7!4=7*6*5*4
f(x)= | a0 | a1*x | a2*x2 | a3*x3 | a4*x4 | a5*x5 | a6*x6 | a7*x7 |
f(0) = a0 |
f'(0) = a1 |
f"(0) = 2*a2 |
f(3)(0) = 3!*a3 |
f(4)(0) = 4!*a4 |
f(5)(0) = 5!*a5 |
f(6)(0) = 6!*a6 |
f(7)(0) = 7!*a7 |
1 | = | x0 |
x | = | x1 |
f(x) | = | f(0)(x) |
f'(x) | = | f(1)(x) |
f"(x) | = | f(2)(x) |
2 | = | 2! |
1 | = | 1! |
1 | = | 0! |
da cui:
f(x)=a0*x0 + a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 + a5*x5 + a6*x6 + a7*x7 + a8*x8 + a9*x9 + ...
f(0)(0)=0!*a0 | f(0)(x)= | a0*x0 | a1*x1 | a2*x2 | a3*x3 | a4*x4 | a5*x5 | a6*x6 | a7*x7 | |
f(1)(0)=1!*a1 | f(1)(x)= | 0 | a1*x0 | 2*a2*x1 | 3*a3*x2 | 4*a4*x3 | 5*a5*x4 | 6*a6*x5 | 7*a7*x6 | |
f(2)(0)=2!*a2 | f(2)(x)= | 0 | 2*a2*x0 | 3*2*a3*x1 | 4*3*a4*x2 | 5*4*a5*x3 | 6*5*a6*x4 | 7*6*a7*x5 | ||
f(3)(0)=3!*a3 | f(3)(x)= | 0 | 3!*a3*x0 | 4!2*a4*x1 | 5!3*a5*x2 | 6!4*a6*x3 | 7!5*a7*x4 | |||
f(4)(0)=4!*a4 | f(4)(x)= | 0 | 4!*a4*x0 | 5!2*a5*x1 | 6!3*a6*x2 | 7!4*a7*x3 | ||||
f(5)(0)=5!*a5 | f(5)(x)= | 0 | 5!*a5*x0 | 6!2*a6*x1 | 7!3*a7*x2 | |||||
f(6)(0)=6!*a6 | f(6)(x)= | 0 | 6!*a6*x0 | 7!2*a7*x1 | ||||||
f(7)(0)=7!*a7 | f(7)(x)= | 0 | 7!*a7*x0 | |||||||
f(8)(x)=0 | 0 |