z=x+y ⇒ ∆z=∆x+∆y | |
∆(x+y)=∆x+∆y | scrittura contratta |
Il differenziale della somma e' uguale alla somma dei differenziali.
L'incremento della somma e' uguale alla somma degli incrementi.
x+y
x y
stato iniziale: XXXXXyyy
XXXXX yyy
stato finale : XXXXXXXyyyy XXXXXXX
yyyy
variazione :
XXy XX
y
D(x+y) Dx
Dy
x+y
x y
stato iniziale:
x0+y0
x0 y0
stato finale :
x1+y1
x1 y1
variazione : (x1+y1)-(x0+y0)
x1-x0 y1-y0
3 variabili x y z tra loro dipendenti; la dipendenza si puo' esprimere
matematicamente come:
z=x+y cioe' z coincide con la somma di x e y.
Se fissiamo l'attenzione su 2 stati qualsiasi S1 e S2, si puo' considerare:
X Y Z DX DY DZ
S1 X1 Y1 Z1 DX DY DZ
S2 X2 Y2 Z2
x2=x1+Dx y2=y1+Dy z2=z1+Dz
il differenziale della somma di variabili e' uguale a
alla somma dei differenziali delle singole variabili
L'incremento della variabile somma di 2 variabili e' uguale a
alla somma degli incrementi delle singole variabili.
dim:
Facciamo 2 dimostrazioni. Da un pv logico basta 1 dimostrazione, ma siccome i pv
fisici sono 2, facciamo una dimostrazione per ognuno dei 2 pv.
(x+y)(S2) e' il valore della variabile somma x+y nello Stato2
=x2+y2 definizione di somma di variabili
=(x1+Dx)+(y1+Dy) sostituzione secondo la definizione di differenziale
=(x1+y1)+(Dx+Dy) per la proprieta' associativa e commutativa
=(x+y)(S1)+(Dx+Dy) def somma di variabili
conclusione:
(x+y)(S2)=(x+y)(S1)+(Dx+Dy) transitivita' dell'uguaglianza
D'altra parte:
(x+y)(S2)=(x+y)(S1)+D(x+y) definizione di differenziale
conclusione:
D(x+y)=Dx+Dy per confronto di uguaglianze.
D(x+y)=(x+y)(S2)-(x+y)(S1) definizione di differenziale
=(x2+y2)-(x1+y1) def d somma
=(x2+y2)+(-x1-y1) l'opposto di una somma e' uguale a
alla somma degli opposti
=(x2-x1)+(y2-y1) proprieta' associativa e commutativa
=Dx+Dy definizione di differenziale
Da un punto di vista formale, e' come se:
- il simbolo di differenziale si puo' comporre coi simboli delle variabili
- per la composizione: tra differenziale e variabile, nel caso della somma di
variabili, vale la proprieta' distributiva
(vista anche come raccogliere a fattor comune)
Alter: se s=x+y, allora ∆s=∆x+∆y
Parole: il differenziale della somma e' = alla somma dei differenziali.
Il teorema vale sia per i numeri assoluti, che per i numeri col segno !
dim: ∆s = s2-s1 ∆x=x2-x1 ∆y=y2-y1
∆s = s2-s1 = | sostituisco il valore di s secondo definizione, es: s2=x2+y2 |
= (x2+y2) - (x1+y1) = | "sciolgo le parentesi" |
= x2+y2 -x1-y1 = | riassocio |
= (x2-x1) + (y2-y1) |
dipende se ci si mette in "prospettiva aritmetica o algebrica", "binaria o unaria"
= (x2+y2) - (x1+y1) = opposto della somma e' la somma degli opposti
= (x2+y2) + (-x1-y1) = trasformo con la proprieta' associativa e commutativa
Differenziali, incrementi, variazioni, e loro composizione.