^^∆(x+y)=∆x+∆y  differenziale della somma.

Scriverlo

z=x+y ⇒ ∆z=∆x+∆y  
∆(x+y)=∆x+∆y scrittura contratta

∆(x+y)=∆x+∆y

Il differenziale della somma e' uguale alla somma dei differenziali.

L'incremento della somma e' uguale alla somma degli incrementi.

 

                x+y                x          y
stato iniziale: XXXXXyyy           XXXXX      yyy
stato finale  : XXXXXXXyyyy        XXXXXXX    yyyy
variazione    :         XXy             XX       y
                        D(x+y)          Dx       Dy

 

                x+y                x          y
stato iniziale: x0+y0              x0         y0
stato finale  : x1+y1              x1         y1
variazione    : (x1+y1)-(x0+y0)    x1-x0      y1-y0

 

Interpretazione introducendo la variabile somma z=x+y

3 variabili x y z tra loro dipendenti; la dipendenza si puo' esprimere matematicamente come:
z=x+y cioe' z coincide con la somma di x e y.
Se fissiamo l'attenzione su 2 stati qualsiasi S1 e S2, si puo' considerare:

     X  Y  Z  DX DY DZ
S1  X1 Y1 Z1  DX DY DZ
S2  X2 Y2 Z2                 x2=x1+Dx  y2=y1+Dy  z2=z1+Dz

tesi: D(x+y)=Dx+Dy

il differenziale della somma di variabili e' uguale a
alla somma dei differenziali delle singole variabili
L'incremento della variabile somma di 2 variabili e' uguale a
alla somma degli incrementi delle singole variabili.
dim:
Facciamo 2 dimostrazioni. Da un pv logico basta 1 dimostrazione, ma siccome i pv fisici sono 2, facciamo una dimostrazione per ognuno dei 2 pv.

dim1: pv incrementale:

(x+y)(S2) e' il valore della variabile somma x+y nello Stato2
=x2+y2 definizione di somma di variabili
=(x1+Dx)+(y1+Dy) sostituzione secondo la definizione di differenziale
=(x1+y1)+(Dx+Dy) per la proprieta' associativa e commutativa
=(x+y)(S1)+(Dx+Dy) def somma di variabili 
conclusione:
(x+y)(S2)=(x+y)(S1)+(Dx+Dy) transitivita' dell'uguaglianza
D'altra parte:
(x+y)(S2)=(x+y)(S1)+D(x+y) definizione di differenziale
conclusione:
D(x+y)=Dx+Dy per confronto di uguaglianze.

dim2: pv differenziale.

D(x+y)=(x+y)(S2)-(x+y)(S1) definizione di differenziale
=(x2+y2)-(x1+y1) def d somma
=(x2+y2)+(-x1-y1) l'opposto di una somma e' uguale a
alla somma degli opposti
=(x2-x1)+(y2-y1) proprieta' associativa e commutativa
=Dx+Dy definizione di differenziale

 

Proprieta' formali del simbolo del differenziale

Da un punto di vista formale, e' come se:
- il simbolo di differenziale si puo' comporre coi simboli delle variabili
- per la composizione: tra differenziale e variabile, nel caso della somma di variabili, vale la proprieta' distributiva (vista anche come raccogliere a fattor comune)

 

Dimostrazione dic 2015 in Rettangoli equiperimetro. Txt.

Teo: ∆(x+y) = ∆x + ∆y

Alter: se s=x+y, allora ∆s=∆x+∆y

Parole: il differenziale della somma e' = alla somma dei differenziali.

Il teorema vale sia per i numeri assoluti, che per i numeri col segno !

dim: ∆s = s2-s1   ∆x=x2-x1  ∆y=y2-y1

∆s = s2-s1 = sostituisco il valore di s secondo definizione, es: s2=x2+y2
= (x2+y2) - (x1+y1) = "sciolgo le parentesi"
= x2+y2 -x1-y1 = riassocio
= (x2-x1) + (y2-y1)  

Giustificazione passaggi

dipende se ci si mette in "prospettiva aritmetica o algebrica", "binaria o unaria"

= (x2+y2) - (x1+y1) =  opposto della somma e' la somma degli opposti

= (x2+y2) + (-x1-y1) =  trasformo con la proprieta' associativa e commutativa

Links

Differenziali, incrementi, variazioni, e loro composizione.


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Titolo

  1. Differenziale della somma: D(x+y) = Dx + Dy
    c: originale
  2. ∆(x+y)=∆x+∆y  differenziale della somma.
    c: preferisco preporre la formula, dare priorita' alla formula.