Triangolo di Tartaglia.
(Da approfondire).u v due funzioni della stessa variabile (che qui non importa nominare);
applichiamo la
derivando un prodotto (di 2 fun), si genera la somma di 2 prodotti (di 2 fun).
Ripetiamo la derivazione, lasciando indicata l'operazione, cioe' senza effettivamente eseguirla
(uv)'' = (u'v)' + (uv')' = u''v + u'v' + u'v' + uv''
ripetendo il passaggio di derivazione-generazione: ogni addendo ne genera 2, il nr di addendi aumenta moltiplicandosi per 2, e' una successione esponenziale 2n ;
pero' si nota che alcuni addendi sono uguali, e quindi sommandoli si riduce il nr di addendi:
= u''v + 2u'v' + uv'' che ricorda ...
| a2 + 2ab + b2 | il binomio di 2° (a+b)2 . | |
| Per farlo piu' simile ... | ||
| a2b0 + 2a1b1 + a0b2 | caso o ragione ? |
Ripetiamo il passaggio di derivazione-generazione
| (uv)''' | = (u''v)' + (2u'v')' + (uv'')'
= u'''v + u''v' + 2u''v' + 2u'v'' + u'v'' + uv''' proseguendo sommando i simili, 6 addendi si riducono a 4; |
|||||
| = u'''v | + 3u''v' | + 3u'v'' | + uv''' | che e' isomorfo al binomio di 3° | ||
| = a3b0 | + 3a2b1 | + 3a1b2 | + a0b3 | |||
| (''',) | ('',') | (','') | (,''') | in forma astratta l'isomorfismo | ||
| (3,0) | (2,1) | (1,2) | (0,3) | |||
la congettura e' che
proceda come per il binomio di grado n (a+b)n .
Il tutto legato al
Triangolo di Tartaglia.
(Da approfondire).
| (0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) (4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4) |
(0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) (4,0) (3,1) (2,2) (1,3) (0,4) |
fa passare
i primi 2 nr-numerosita' sono uguali, ma poi !!! >>>
L'albero si trasforma nel triangolo considerando uguali terminali che si riuniscono. In questa visione il triangolo di Tartaglia e' un reticolo.
questo approfondimento sulla derivata del prodotto e' dovuto a Automatic differentiation, differenziazione automatica, algoritmica.