^^Proprieta' delle potenze in linguaggio funzionale

Nota linguistica

Dovendo parlare contemporaneamente di piu' leggi di composiz, ad es piu' insiemi dotati ognuno di piu' operaz; c'e' potenzialmente una combinatoria di notazioni, poiche' si potrebbe potenzialmente usare la notaz additiva o moltiplicat per ognuna d composiz.
Nel caso qui: uno dei magmi e' l'insieme dei naturali, per cui viene usata la notaz standard; per l'altro magma daremo entrambe le versioni.
Ci si potra' accorgere di come sia piu' facile riconoscere certe proprieta' in una notaz piuttostoche l'altra; e' un effetto del condizionamento percettivo.
Tradurre da una notaz all'altra e' un buon esercizio;
tradurre in proprio dal linguaggio moltiplicat all'additivo, e' utile quando si tratta coi gruppi nel linguaggio additivo.

Prodotto di potenze di ugual base

Teo: OMOMORFISMO CANONICO (N,+)->SG
     del SEMIGRUPPO ADDITIVO dei NUMERI NATURALI nei SEMIGRUPPI.
L'APPLICAZ ESPONENZIALE (N,+)->(SG,+)
                             n->na      ling add
                             n->a^n     ling molt
E' LINEARE 
rispetto alle operazioni: somma dei naturali e opbin del semigruppo.
Scrittura in forma funzionale destra:  (m+n)a=(m)a+(n)a
dim: e' corollario della proprieta' precedente, che e' un pv puntuale.
f(n+m) = (n+m)u  def f
= nu + mu          proprieta' dei multipli
= f(n)+f(m)        def f

Potenza di potenza (in linguaggio funzionale)

teo: l'applicaz N->F(X->X) n->(x->x^n) che associa a un numero naturale la funz potenza di cui e' esponente, e' lineare rispetto a: moltiplicaz dei naturali e composiz di funz

teo: le funz potenza sono commutative rispetto a composiz d funz
(a^m)^n = (a^n)^m
dim: posso vederlo come conseguenza del teo prec; oppure provarlo direttamente dalla proprieta' (a^m)^n = a^(m*n)

Potenza del prodotto in linguaggio funzionale

teo: se a e b commutano
=> (ab)^n = (a^n)(b^n)
equi: l'operatore potenza e' lineare per elementi permutabili

teo: l'applicaz X->F(N->X) x->(n->x^n) che associa a un elemento la funzione esponenziale di cui e' base,
se il semigruppo e' commutativo, e' lineare rispetto a: opbin d semigruppo e operaz puntuali
dim: (xy)^n