Dovendo parlare contemporaneamente di piu' leggi di composiz, ad es piu'
insiemi dotati ognuno di piu' operaz; c'e' potenzialmente una combinatoria di
notazioni, poiche' si potrebbe potenzialmente usare la notaz additiva o
moltiplicat per ognuna d composiz.
Nel caso qui: uno dei magmi e' l'insieme dei naturali, per cui viene usata la
notaz standard; per l'altro magma daremo entrambe le versioni.
Ci si potra' accorgere di come sia piu' facile riconoscere certe proprieta' in
una notaz piuttostoche l'altra; e' un effetto del condizionamento percettivo.
Tradurre da una notaz all'altra e' un buon esercizio;
tradurre in proprio dal linguaggio moltiplicat all'additivo, e' utile quando si
tratta coi gruppi nel linguaggio additivo.
Teo: OMOMORFISMO CANONICO (N,+)->SG del SEMIGRUPPO ADDITIVO dei NUMERI NATURALI nei SEMIGRUPPI. L'APPLICAZ ESPONENZIALE (N,+)->(SG,+) n->na ling add n->a^n ling molt E' LINEARE rispetto alle operazioni: somma dei naturali e opbin del semigruppo. Scrittura in forma funzionale destra: (m+n)a=(m)a+(n)a dim: e' corollario della proprieta' precedente, che e' un pv puntuale. f(n+m) = (n+m)u def f = nu + mu proprieta' dei multipli = f(n)+f(m) def f
teo: l'applicaz N->F(X->X) n->(x->x^n) che associa a un numero naturale la funz potenza di cui e' esponente, e' lineare rispetto a: moltiplicaz dei naturali e composiz di funz
teo: le funz potenza sono commutative rispetto a composiz d funz
(a^m)^n = (a^n)^m
dim: posso vederlo come conseguenza del teo prec; oppure provarlo direttamente
dalla proprieta' (a^m)^n = a^(m*n)
teo: se a e b commutano
=> (ab)^n = (a^n)(b^n)
equi: l'operatore potenza e' lineare per elementi permutabili
teo: l'applicaz X->F(N->X) x->(n->x^n) che associa a un elemento
la funzione esponenziale di cui e' base,
se il semigruppo e' commutativo, e' lineare rispetto a: opbin d semigruppo e
operaz puntuali
dim: (xy)^n