^^Unicità scomposizine in fattori primi.

Let ℤ denote the integers.

Visione simmetrica

m = pq

p q dividono m,  p q divisori of m, equi  m multiplo di p q.

Visione asimmetrica

Dati m, d∈ℤ   se ∃q∈ℤ:   m = dq

d divides m, d divisor of m, equivalently, m is a multiple of d.

nm:

d|m  d divisore di m  ≡  m multiplo di d

{x∈ℤ:d|x}  insieme dei multipli di d

{d∈ℤ:d|x}  insieme dei divisori di x

dida: potrei fare invertito  n|d   n divisibile per d

analogo a numeratore fratto denominatore, in modo da essere uguale all'ordine della scrittura in riga della frazione.

Teo divisore & multiplo

d|x  d|y   ⇒   d|(x + y)  

d|x          ⇒   d|(ax)

d|x  d|y   ⇒   d|(ax + by)

∀ x y a b ∈ℤ

dim: easy to prove, from the definition

let  x = rd  and  y = sd, and
ax + by = a(rd) + b(sd) = d ·(ar + bs)

Teo divisione in ℕ:   D = d·q + r

dato:  dividendo D,   divisore d

∃!      quoziente q  e  resto r<d, caso r=0

dida: ordine delle lettere

D:d= q   la forma dell'algoritmo della divisione e' il riferimento;

si mantiene l'ordine delle lettere, e si cambiano i segni

Approfond

ing:

PID principal ideal domain

UFD unique factorization domain

POSET partially ordered set

Alter espo

Teo divisibilità

if  d|x and d|y  then  d|(x + y)  

if  d|x               then  d|(ax)

if  d|x and d|y  then  d|(ax + by)

Teo divisione:   N = q·m + r

dato:  dividendo N,   divisore m≠0

∃!     quoziente q  e  resto r in [0,|m|)

The integer r is the reduction modulo m of N.