Misura estensiva, rispetto a una composizione di sistemi (=def)
Definizione matematica della misura.
La misura del sistema composto e' uguale alla somma delle misure dei sistemi componenti.
In simboli: m(C=AcB) = m(A) + m(B)
Es: l'esempio prototipico e' la misura della lunghezza.
Si basa sulla composizione dei corpi, secondo la grandezza considerata.
L'esempio/prototipo classico delle misure estensive e' la misura dei segmenti, a
scuola viene fatta a partire dalla terza elementare.
Purtroppo solitamente la presentazione e' fatta in modo troppo legato al caso
specifico e utilizza proprieta' inessenziali. Inoltre rimane aperto il problema
della misura di un insieme qualsiasi che non sia un segmento.
Cerchiamo di dare una esposizione che sia valida per
- la misura di figure nello spazio 123d
- la misura negli spazi astratti
Strategie diverse: misura esatta, misura approssimata.
L'idea per definire la MISURA DI UN INSIEME QUALSIASI e' APPROSSIMAZIONE PER
DIFETTO E PER ECCESSO: costruisco una poli-cella interna all'insieme e una che
lo contiene
PC1 in I in PC2 m(PC1) <= m(I) <= m(PC2)
prendendo policelle sempre piu' fini posso trovare un valore approssimato
della misura, con un errore piccolo quanto voglio.
Idealmente posso proseguire all'infinito generando una successione di valori che
- si scostano sempre meno dal valore effettivo
- nel loro complesso rappresentano il valore effettivo e l'operazione di misura
teo: se 1- X= A union B 2- A,B disgiunti 3- m(A)=m(B) => m(A), m(B) = 1/2 m(X)
dim: la proprieta' fondamentale della misura a seguito dell'ipotesi 1,2 impone m(X)=m(A)+m(B); per ipotesi m(A)=m(B); da questo sistema di condizioni si ricava che m(A), m(B) = 1/2 m(X), che e' proprio la tesi richiesta.
Il significato del teo e' che fissare la misura di una cella equivale a
fissare la misura delle sue parti uguali, dei sottomultipli.
E' cosi' stabilito un isomorfismo tra i numeri razionali e l'operazione di
misura estensiva.
La misura dello spazio euclideo ha ulteriori proprieta' rispetto alla misura negli spazi astratti
x indica il prodotto cartesiano, esterno, geometrico, e' il prodotto per cui 2 segmenti producono un rettangolo
m3d( V=L1xL2xL3 ) = m1d(L1) * m1d(L2) * m1d(L3) = m2d(L1xL2) * m1d(L3) = m1d(L1) * m2d(L2xL3) = m2d(L1xL3) * m1d(L2)
La misura euclidea e' invariante per traslazione, rotazione, cioe' per i
movimenti rigidi.
Da un punto di vista formale una misura e' definita da:
Da un punto di vista formale una distribuzione e' data da una coppia di misure sullo stesso spazio di misura. Si puo' fare la derivata o densita' di una misura rispetto all'altra.
Esempi. Esemplificare. Esempio prototipico, paradigmatico, canonico.
y x sys1 y1 x1 y1:y2 = x1:x2 sys2 y2 x2 y1:x1 = y2:x2
si puo' intendere sys2 come l'unita' di misura nel senso che assumiamo
- x2 come unita' di misura per la x; la ribattezziamo x0
- y2 come unita' di misura per la y; la ribattezziamo y0
Lo schema e' allora meglio espresso con questa nomenclatura:
sys y x y:y0=x:x0 sys0 y0 x0 y:x=y0:x0 y= (y0/x0)*x x= (x0/y0)*y
Guardando solo per variabili la proporzione si riduce a una uguaglianza
di misure omogenee (numero di volte NV):
il NV che y contiene/e'-maggiore di y0 = il NV che x contiene/e'-maggiore di x0.
E' una corrispondenza estensiva, o isomorfismo.
Definizione formale di isomorfismo:
1- esiste
- una legge d composizione d sistemi
- grandezze misurabili associate ai sistemi con valori variabili/costanti da
sistema a sistema.
Indichiamo con
- x e y 2 grandezze variabili
- X e Y i campi di variabilita' della grandezza x e y
Ci si chiede come i valori d sistema composto dipendano dai valori d sistemi
componenti
Schema di s-composizione di sistemi-variabili SYSC SYS1 SYS2 var y yc y1 y2 var x xc x1 x2
2- proprieta' di isomorfismo.
Guardando per variabili:
il valore-misura d variabile nel sistema composto e' la somma d valori nei
sistemi componenti
in simboli: m(SYSC)=m(SYS1)+m(SYS2)
si legge : la misura del sistema composto e' uguale alla misura d sistema1
piu' la misura d sistema2.
Guardando per sistemi:
esiste una corrispondenza biunivoca tra i valori di due grandezze variabili x e
y
f: X->Y x->y=f(x)
Proprieta': - f(xc=x1+x2)=f(x1)+f(x2) additivita' l'immagine d somma e' = alla somma d immagini - f(k*x)=k*f(x) omogeneita'