^^Misura estensiva

Misura estensiva, rispetto a una composizione di sistemi (=def)

 

Definizione matematica della misura.

mem: Misura estensiva. Def, Es, si basa ...

La misura del sistema composto e' uguale alla somma delle misure dei sistemi componenti.

In simboli: m(C=AcB) =  m(A) + m(B)

Es: l'esempio prototipico e' la misura della lunghezza.

Si basa sulla composizione dei corpi, secondo la grandezza considerata.

 

  1. ref: Quantita' e qualita', grandezze estensive e grandezze intensive; misura di intero/parti, composto/componenti.
  2. Legge additiva per la misura del sistema composto.

Il processo astratto di misura delle grandezze estensive

L'esempio/prototipo classico delle misure estensive e' la misura dei segmenti, a scuola viene fatta a partire dalla terza elementare.
Purtroppo solitamente la presentazione e' fatta in modo troppo legato al caso specifico e utilizza proprieta' inessenziali. Inoltre rimane aperto il problema della misura di un insieme qualsiasi che non sia un segmento.

Cerchiamo di dare una esposizione che sia valida per
- la misura di figure nello spazio 123d
- la misura negli spazi astratti

Basi della misura: le celle 123d.

Strategie diverse: misura esatta, misura approssimata.
L'idea per definire la MISURA DI UN INSIEME QUALSIASI e' APPROSSIMAZIONE PER DIFETTO E PER ECCESSO: costruisco una poli-cella interna all'insieme e una che lo contiene

  PC1  in   I  in   PC2
m(PC1) <= m(I) <= m(PC2)

prendendo policelle sempre piu' fini posso trovare un valore approssimato della misura, con un errore piccolo quanto voglio.
Idealmente posso proseguire all'infinito generando una successione di valori che
- si scostano sempre meno dal valore effettivo
- nel loro complesso rappresentano il valore effettivo e l'operazione di misura

 

teo: se  1- X= A union B
         2- A,B disgiunti
         3- m(A)=m(B)
     =>  m(A), m(B) = 1/2 m(X)

dim: la proprieta' fondamentale della misura a seguito dell'ipotesi 1,2 impone m(X)=m(A)+m(B); per ipotesi m(A)=m(B); da questo sistema di condizioni si ricava che m(A), m(B) = 1/2 m(X), che e' proprio la tesi richiesta.

Il significato del teo e' che fissare la misura di una cella equivale a fissare la misura delle sue parti uguali, dei sottomultipli.
E' cosi' stabilito un isomorfismo tra i numeri razionali e l'operazione di misura estensiva.

Misura euclidea

La misura dello spazio euclideo ha ulteriori proprieta' rispetto alla misura negli spazi astratti

Relazione misura-dimensioni

x indica il prodotto cartesiano, esterno, geometrico, e' il prodotto per cui 2 segmenti producono un rettangolo

m3d( V=L1xL2xL3 )   = m1d(L1) * m1d(L2) * m1d(L3)
                    = m2d(L1xL2) * m1d(L3)
                    = m1d(L1) * m2d(L2xL3) 
                    = m2d(L1xL3) * m1d(L2)

Relazione misura - trasformazioni rigide

La misura euclidea e' invariante per traslazione, rotazione, cioe' per i movimenti rigidi.

Spazio di misura astratto

Da un punto di vista formale una misura e' definita da:

  1. uno spazio di misura.
    Rappresenta il gruppo di sistemi che puo' essere s-composto, misurato (semigruppo ordinato)
  2. una misura.
    E' una funzione-processo che assegna a ogni sistema una rappresentazione del risultato all'interno di un opportuno sistema formale
    es: 1 numero per le variabili numeriche (variabili 1d).
    La proprieta' che caratterizza questa funzione (rispetto alle altre possibili corrispondenze) e' la linearita' rispetto alla s-composizione dei sistemi:
    m(SYS1*SYS2) = m(SYS1) + m(SYS2)
    Una tale variabile-misura-quantita' e' estensiva rispetto al processo di composizione considerato.

Distribuzione di 2 misure estensive rispetto a un stessa s-composizione di sistemi

Da un punto di vista formale una distribuzione e' data da una coppia di misure sullo stesso spazio di misura. Si puo' fare la derivata o densita' di una misura rispetto all'altra.

Links

Contare raggruppando.

Esempi. Esemplificare. Esempio prototipico, paradigmatico, canonico.

 

 

 

 

Guida ins

Errato. da sistemare.

Confronto diretto (tra 2 sistemi)

        y    x
sys1    y1   x1         y1:y2 = x1:x2
sys2    y2   x2         y1:x1 = y2:x2

Confronto con un riferimento-unita' di misura

si puo' intendere sys2 come l'unita' di misura nel senso che assumiamo 
- x2 come unita' di misura per la x; la ribattezziamo x0
- y2 come unita' di misura per la y; la ribattezziamo y0
Lo schema e' allora meglio espresso con questa nomenclatura:

sys     y    x          y:y0=x:x0
sys0    y0   x0         y:x=y0:x0
                        y= (y0/x0)*x 
                        x= (x0/y0)*y

Guardando solo per variabili la proporzione  si riduce a una uguaglianza di misure omogenee (numero di volte NV): 
il NV che y contiene/e'-maggiore di y0 = il NV che x contiene/e'-maggiore di x0.
E' una corrispondenza estensiva, o isomorfismo.

Definizione formale di isomorfismo:
1- esiste 
- una legge d composizione  d sistemi
- grandezze misurabili associate ai sistemi con valori variabili/costanti da sistema a sistema. 
Indichiamo con
- x e y 2 grandezze variabili
- X e Y i campi di variabilita' della grandezza x e y
Ci si chiede come i valori d sistema composto dipendano dai valori d sistemi componenti 

Schema di s-composizione di sistemi-variabili
        SYSC SYS1 SYS2
var y    yc   y1   y2
var x    xc   x1   x2

2- proprieta' di isomorfismo. 
Guardando per variabili:
il valore-misura d variabile nel sistema composto e' la somma d valori nei sistemi componenti
in simboli: m(SYSC)=m(SYS1)+m(SYS2)
si legge  : la misura del sistema composto e' uguale alla misura d sistema1 piu' la misura d sistema2.
Guardando per sistemi:
esiste una corrispondenza biunivoca tra i valori di due grandezze variabili x e y

      f: X->Y
      x->y=f(x)
Proprieta':
- f(xc=x1+x2)=f(x1)+f(x2) additivita'
  l'immagine d somma e' = alla somma d immagini
- f(k*x)=k*f(x)            omogeneita'